در هندسه ، گُرده‌گون یا نفروئید (انگلیسی : Nephroid منحنی مسطح خاص است. این نوعی از برون‌چرخ‌زاد است که در آن شعاع دایره کوچکتر با ضریب یک دوم با شعاع دایره بزرگتر متفاوت است.
گُرده در فارسی به معنای کلیه است و گرده‌گون یعنی «به شکل کلیه». نام نفروئید نیز از واژه یونانی νεφρός به معنی گرده و گلیه آمده است. اگرچه اصطلاح «نفروئید» برای توصیف منحنی‌های دیگر استفاده می‌شد، اما توسط ریچارد ا. پروکتور در سال ۱۸۷۸ برای منحنی این مقاله به کار رفت.[ ۱] [ ۲]
گرده‌گون عبارت است از:
تولید گرده‌گون توسط یک دایره غلتان اگر دایره کوچک شعاع a داشته باشد، دایره ثابت دارای نقطه میانی (۰٬۰) و شعاع ۲a باشد، زاویه غلتش دایره کوچک ۲φ و نقطه (۲a٬۰) نقطه شروع باشد (به نمودار مراجعه کنید)، سپس نمایش پارامتری زیر به دست می‌آید:
x
(
φ
)
=
3
a
cos
φ
−
a
cos
3
φ
=
6
a
cos
φ
−
4
a
cos
3
φ
,
{\displaystyle x(\varphi )=3a\cos \varphi -a\cos 3\varphi =6a\cos \varphi -4a\cos ^{3}\varphi \ ,}
y
(
φ
)
=
3
a
sin
φ
−
a
sin
3
φ
=
4
a
sin
3
φ
,
0
≤
φ
<
2
π
{\displaystyle y(\varphi )=3a\sin \varphi -a\sin 3\varphi =4a\sin ^{3}\varphi \ ,\qquad 0\leq \varphi <2\pi }
نگاشت مختلط
z
→
z
3
+
3
z
{\displaystyle z\to z^{3}+3z}
[ ۳]
اثبات نمایش پارامتری به راحتی با استفاده از اعداد مختلط و نمایش آنها به عنوان صفحه مختلط انجام می‌شود. حرکت دایره کوچک را می‌توان به دو چرخش تقسیم کرد. در صفحه مختلط، چرخش یک نقطه z حول نقطه ۰ (مبدأ) با زاویه φ را می‌توان با ضرب نقطه z (عدد مختلط) در e^{i\varphi} انجام داد. از این رو
چرخش
Φ
3
{\displaystyle \Phi _{3}}
3
a
{\displaystyle 3a}
2
φ
{\displaystyle 2\varphi }
:
z
↦
3
a
+
(
z
−
3
a
)
e
i
2
φ
{\displaystyle :z\mapsto 3a+(z-3a)e^{i2\varphi }}
چرخش
Φ
0
{\displaystyle \Phi _{0}}
0
{\displaystyle 0}
φ
{\displaystyle \varphi }
:
z
↦
z
e
i
φ
{\displaystyle :\quad z\mapsto ze^{i\varphi }}
یک نقطه
p
(
φ
)
{\displaystyle p(\varphi )}
2
a
{\displaystyle 2a}
Φ
3
{\displaystyle \Phi _{3}}
Φ
0
{\displaystyle \Phi _{0}}
p
(
φ
)
=
Φ
0
(
Φ
3
(
2
a
)
)
=
Φ
0
(
3
a
−
a
e
i
2
φ
)
=
(
3
a
−
a
e
i
2
φ
)
e
i
φ
=
3
a
e
i
φ
−
a
e
i
3
φ
{\displaystyle p(\varphi )=\Phi _{0}(\Phi _{3}(2a))=\Phi _{0}(3a-ae^{i2\varphi })=(3a-ae^{i2\varphi })e^{i\varphi }=3ae^{i\varphi }-ae^{i3\varphi }}
از اینجا به دست می‌آید:
x
(
φ
)
=
3
a
cos
φ
−
a
cos
3
φ
=
6
a
cos
φ
−
4
a
cos
3
φ
,
y
(
φ
)
=
3
a
sin
φ
−
a
sin
3
φ
=
4
a
sin
3
φ
.
{\displaystyle {\begin{array}{cclcccc}x(\varphi )&=&3a\cos \varphi -a\cos 3\varphi &=&6a\cos \varphi -4a\cos ^{3}\varphi \ ,&&\\y(\varphi )&=&3a\sin \varphi -a\sin 3\varphi &=&4a\sin ^{3}\varphi &.&\end{array}}}
(فرمول‌های
e
i
φ
=
cos
φ
+
i
sin
φ
,
cos
2
φ
+
sin
2
φ
=
1
,
cos
3
φ
=
4
cos
3
φ
−
3
cos
φ
,
sin
3
φ
=
3
sin
φ
−
4
sin
3
φ
{\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,\ \cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi =1,\ \cos 3\varphi =4\cos ^{3}\varphi -3\cos \varphi ,\;\sin 3\varphi =3\sin \varphi -4\sin ^{3}\varphi }
توابع مثلثاتی مراجعه کنید)
قرار دادن
x
(
φ
)
{\displaystyle x(\varphi )}
y
(
φ
)
{\displaystyle y(\varphi )}
(
x
2
+
y
2
−
4
a
2
)
3
=
108
a
4
y
2
{\displaystyle (x^{2}+y^{2}-4a^{2})^{3}=108a^{4}y^{2}}
نشان می‌دهد که این معادله یک نمایش ضمنی منحنی است.
با
x
2
+
y
2
−
4
a
2
=
(
3
a
cos
φ
−
a
cos
3
φ
)
2
+
(
3
a
sin
φ
−
a
sin
3
φ
)
2
−
4
a
2
=
⋯
=
6
a
2
(
1
−
cos
2
φ
)
=
12
a
2
sin
2
φ
{\displaystyle x^{2}+y^{2}-4a^{2}=(3a\cos \varphi -a\cos 3\varphi )^{2}+(3a\sin \varphi -a\sin 3\varphi )^{2}-4a^{2}=\cdots =6a^{2}(1-\cos 2\varphi )=12a^{2}\sin ^{2}\varphi }
به دست می‌آید:
(
x
2
+
y
2
−
4
a
2
)
3
=
(
12
a
2
)
3
sin
6
φ
=
108
a
4
(
4
a
sin
3
φ
)
2
=
108
a
4
y
2
.
{\displaystyle (x^{2}+y^{2}-4a^{2})^{3}=(12a^{2})^{3}\sin ^{6}\varphi =108a^{4}(4a\sin ^{3}\varphi )^{2}=108a^{4}y^{2}\ .}
اگر تیزه‌ها روی محور y باشند، نمایش پارامتری به صورت زیر است:
x
=
3
a
cos
φ
+
a
cos
3
φ
,
y
=
3
a
sin
φ
+
a
sin
3
φ
)
.
{\displaystyle x=3a\cos \varphi +a\cos 3\varphi ,\quad y=3a\sin \varphi +a\sin 3\varphi ).}
و نمایش ضمنی آن:
(
x
2
+
y
2
−
4
a
2
)
3
=
108
a
4
x
2
.
{\displaystyle (x^{2}+y^{2}-4a^{2})^{3}=108a^{4}x^{2}.}
برای گرده‌گون بالا، موارد زیر برقرار است:
طول کمان
L
=
24
a
,
{\displaystyle L=24a,}
مساحت
A
=
12
π
a
2
{\displaystyle A=12\pi a^{2}\ }
شعاع انحنا
ρ
=
|
3
a
sin
φ
|
.
{\displaystyle \rho =|3a\sin \varphi |.}
اثبات این گزاره‌ها در هر دو مورد از فرمول‌های مناسب روی منحنی‌ها (طول کمان ، مساحت و شعاع انحنا ) و نمایش پارامتری بالا
x
(
φ
)
=
6
a
cos
φ
−
4
a
cos
3
φ
,
{\displaystyle x(\varphi )=6a\cos \varphi -4a\cos ^{3}\varphi \ ,}
y
(
φ
)
=
4
a
sin
3
φ
{\displaystyle y(\varphi )=4a\sin ^{3}\varphi }
و مشتقات آنها
x
˙
=
−
6
a
sin
φ
(
1
−
2
cos
2
φ
)
,
x
¨
=
−
6
a
cos
φ
(
5
−
6
cos
2
φ
)
,
{\displaystyle {\dot {x}}=-6a\sin \varphi (1-2\cos ^{2}\varphi )\ ,\quad \ {\ddot {x}}=-6a\cos \varphi (5-6\cos ^{2}\varphi )\ ,}
y
˙
=
12
a
sin
2
φ
cos
φ
,
y
¨
=
12
a
sin
φ
(
3
cos
2
φ
−
1
)
.
{\displaystyle {\dot {y}}=12a\sin ^{2}\varphi \cos \varphi \quad ,\quad \quad \quad \quad {\ddot {y}}=12a\sin \varphi (3\cos ^{2}\varphi -1)\ .}
استفاده می‌کند.
L
=
2
∫
0
π
x
˙
2
+
y
˙
2
d
φ
=
⋯
=
12
a
∫
0
π
sin
φ
d
φ
=
24
a
{\displaystyle L=2\int _{0}^{\pi }{\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}\;d\varphi =\cdots =12a\int _{0}^{\pi }\sin \varphi \;d\varphi =24a}
A
=
2
⋅
1
2
|
∫
0
π
[
x
y
˙
−
y
x
˙
]
d
φ
|
=
⋯
=
24
a
2
∫
0
π
sin
2
φ
d
φ
=
12
π
a
2
{\displaystyle A=2\cdot {\tfrac {1}{2}}|\int _{0}^{\pi }[x{\dot {y}}-y{\dot {x}}]\;d\varphi |=\cdots =24a^{2}\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}\varphi \;d\varphi =12\pi a^{2}}
ρ
=
|
(
x
˙
2
+
y
˙
2
)
3
2
x
˙
y
¨
−
y
˙
x
¨
|
=
⋯
=
|
3
a
sin
φ
|
.
{\displaystyle \rho =\left|{\frac {\left({{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}\right)^{\frac {3}{2}}}{{\dot {x}}{\ddot {y}}-{\dot {y}}{\ddot {x}}}}\right|=\cdots =|3a\sin \varphi |.}
گرده‌گون به عنوان پوشش یک دسته از دایره‌ها می‌توان آن را با غلتاندن دایره‌ای به شعاع
a
{\displaystyle a}
2
a
{\displaystyle 2a}
برون‌چرخ‌زاد است. [ ویرایش ] فرض کنید
c
0
{\displaystyle c_{0}}
D
1
,
D
2
{\displaystyle D_{1},D_{2}}
d
12
{\displaystyle d_{12}}
c
0
{\displaystyle c_{0}}
d
12
{\displaystyle d_{12}}
گرده‌گون با نقاط بازگشتی
D
1
,
D
2
{\displaystyle D_{1},D_{2}}
فرض کنید
c
0
{\displaystyle c_{0}}
(
2
a
cos
φ
,
2
a
sin
φ
)
{\displaystyle (2a\cos \varphi ,2a\sin \varphi )}
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,0)}
2
a
{\displaystyle 2a}
f
(
x
,
y
,
φ
)
=
(
x
−
2
a
cos
φ
)
2
+
(
y
−
2
a
sin
φ
)
2
−
(
2
a
sin
φ
)
2
=
0
.
{\displaystyle f(x,y,\varphi )=(x-2a\cos \varphi )^{2}+(y-2a\sin \varphi )^{2}-(2a\sin \varphi )^{2}=0\ .}
شرط پوشش به صورت زیر است:
f
φ
(
x
,
y
,
φ
)
=
2
a
(
x
sin
φ
−
y
cos
φ
−
2
a
cos
φ
sin
φ
)
=
0
.
{\displaystyle f_{\varphi }(x,y,\varphi )=2a(x\sin \varphi -y\cos \varphi -2a\cos \varphi \sin \varphi )=0\ .}
به راحتی می‌توان بررسی کرد که نقطه گرده گون
p
(
φ
)
=
(
6
a
cos
φ
−
4
a
cos
3
φ
,
4
a
sin
3
φ
)
{\displaystyle p(\varphi )=(6a\cos \varphi -4a\cos ^{3}\varphi \;,\;4a\sin ^{3}\varphi )}
f
(
x
,
y
,
φ
)
=
0
,
f
φ
(
x
,
y
,
φ
)
=
0
{\displaystyle f(x,y,\varphi )=0,\;f_{\varphi }(x,y,\varphi )=0}
[ ویرایش ] گرده گون: مماس‌ها به عنوان وترهای یک دایره، اصل گرده گون: مماس‌ها به عنوان وترهای یک دایره مشابه تولید یک دل‌گون به عنوان پوشش یک دسته خط، روش زیر را داریم:
یک دایره رسم کنید، محیط آن را به قسمت‌های با فاصله مساوی با
3
N
{\displaystyle 3N}
وترها را رسم کنید:
(
1
,
3
)
,
(
2
,
6
)
,
.
.
.
.
,
(
n
,
3
n
)
,
.
.
.
.
,
(
N
,
3
N
)
,
(
N
+
1
,
3
)
,
(
N
+
2
,
6
)
,
.
.
.
.
,
{\displaystyle (1,3),(2,6),....,(n,3n),....,(N,3N),(N+1,3),(N+2,6),....,}
«پوشش» این وترها یک گرده گون است. بررسی زیر از فرمول‌های مثلثاتی برای
cos
α
+
cos
β
,
sin
α
+
sin
β
,
cos
(
α
+
β
)
,
cos
2
α
{\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta ,\ \sin \alpha +\sin \beta ,\ \cos(\alpha +\beta ),\ \cos 2\alpha }
معادله مماس : برای گرده‌گون با نمایش پارامتری
x
=
3
cos
φ
+
cos
3
φ
,
y
=
3
sin
φ
+
sin
3
φ
{\displaystyle x=3\cos \varphi +\cos 3\varphi ,\;y=3\sin \varphi +\sin 3\varphi }
از اینجا ابتدا بردار نرمال
n
→
=
(
y
˙
,
−
x
˙
)
T
{\displaystyle {\vec {n}}=({\dot {y}},-{\dot {x}})^{T}}
y
˙
(
φ
)
⋅
(
x
−
x
(
φ
)
)
−
x
˙
(
φ
)
⋅
(
y
−
y
(
φ
)
)
=
0
{\displaystyle {\dot {y}}(\varphi )\cdot (x-x(\varphi ))-{\dot {x}}(\varphi )\cdot (y-y(\varphi ))=0}
(
cos
2
φ
⋅
x
+
sin
2
φ
⋅
y
)
cos
φ
=
4
cos
2
φ
.
{\displaystyle (\cos 2\varphi \cdot x\ +\ \sin 2\varphi \cdot y)\cos \varphi =4\cos ^{2}\varphi \ .}
برای
φ
=
π
2
,
3
π
2
{\displaystyle \varphi ={\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {3\pi }{2}}}
φ
≠
π
2
,
3
π
2
{\displaystyle \varphi \neq {\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {3\pi }{2}}}
cos
φ
{\displaystyle \cos \varphi }
cos
2
φ
⋅
x
+
sin
2
φ
⋅
y
=
4
cos
φ
.
{\displaystyle \cos 2\varphi \cdot x+\sin 2\varphi \cdot y=4\cos \varphi \ .}
معادله وتر : برای دایره با نقطه میانی
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,0)}
4
{\displaystyle 4}
(
4
cos
θ
,
4
sin
θ
)
,
(
4
cos
3
θ
,
4
sin
3
θ
)
)
{\displaystyle (4\cos \theta ,4\sin \theta ),\ (4\cos {\color {red}3}\theta ,4\sin {\color {red}3}\theta ))}
(
cos
2
θ
⋅
x
+
sin
2
θ
⋅
y
)
sin
θ
=
4
cos
θ
sin
θ
.
{\displaystyle (\cos 2\theta \cdot x+\sin 2\theta \cdot y)\sin \theta =4\cos \theta \sin \theta \ .}
برای
θ
=
0
,
π
{\displaystyle \theta =0,\pi }
θ
≠
0
,
π
{\displaystyle \theta \neq 0,\pi }
sin
θ
{\displaystyle \sin \theta }
cos
2
θ
⋅
x
+
sin
2
θ
⋅
y
=
4
cos
θ
.
{\displaystyle \cos 2\theta \cdot x+\sin 2\theta \cdot y=4\cos \theta \ .}
دو زاویه
φ
,
θ
{\displaystyle \varphi ,\theta }
φ
{\displaystyle \varphi }
θ
{\displaystyle \theta }
φ
=
θ
{\displaystyle \varphi =\theta }
گرده گون پوشش وترهای دایره است. [ ویرایش ] گرده‌گون به عنوان کاستیک یک دایره: اصل گرده‌گون به عنوان کاستیک نیمی از یک دایره ملاحظات انجام شده در بخش قبل، اثباتی برای این واقعیت ارائه می‌دهد که کاستیک نیمی از یک دایره، یک گرده‌گون است.
اگر در صفحه پرتوهای نور موازی به نیم دایره بازتابنده برخورد کنند (به نمودار مراجعه کنید)، پرتوهای بازتاب شده مماس بر یک گرده‌گون هستند. دایره ممکن است دارای مبدأ به عنوان نقطه میانی باشد (مانند بخش قبل) و شعاع آن
4
{\displaystyle 4}
k
(
φ
)
=
4
(
cos
φ
,
sin
φ
)
.
{\displaystyle k(\varphi )=4(\cos \varphi ,\sin \varphi )\ .}
مماس بر نقطه دایره
K
:
k
(
φ
)
{\displaystyle K:\ k(\varphi )}
n
→
t
=
(
cos
φ
,
sin
φ
)
T
{\displaystyle {\vec {n}}_{t}=(\cos \varphi ,\sin \varphi )^{T}}
n
→
r
=
(
cos
2
φ
,
sin
2
φ
)
T
{\displaystyle {\vec {n}}_{r}=(\cos {\color {red}2}\varphi ,\sin {\color {red}2}\varphi )^{T}}
K
:
4
(
cos
φ
,
sin
φ
)
{\displaystyle K:\ 4(\cos \varphi ,\sin \varphi )}
cos
2
φ
⋅
x
+
sin
2
φ
⋅
y
=
4
cos
φ
,
{\displaystyle \cos {\color {red}2}\varphi \cdot x\ +\ \sin {\color {red}2}\varphi \cdot y=4\cos \varphi \ ,}
که مماس بر گرده گون بخش قبلی در نقطه
P
:
(
3
cos
φ
+
cos
3
φ
,
3
sin
φ
+
sin
3
φ
)
{\displaystyle P:\ (3\cos \varphi +\cos 3\varphi ,3\sin \varphi +\sin 3\varphi )}
کاستیک گرده‌گون در پایین فنجان چای [ ویرایش ] گرده‌گون و گسترنده آندایره بوسان و مرکز انحنا گسترنده یک منحنی، مکان هندسی مراکز انحنا است. به‌طور خاص: برای یک منحنی
x
→
=
c
→
(
s
)
{\displaystyle {\vec {x}}={\vec {c}}(s)}
ρ
(
s
)
{\displaystyle \rho (s)}
x
→
=
c
→
(
s
)
+
ρ
(
s
)
n
→
(
s
)
.
{\displaystyle {\vec {x}}={\vec {c}}(s)+\rho (s){\vec {n}}(s).}
با
n
→
(
s
)
{\displaystyle {\vec {n}}(s)}
برای یک گرده‌گون به دست می‌آید:
«گسترنده» یک گرده گون، یک گرده‌گون دیگر است که نصف اندازه آن است و ۹۰ درجه چرخیده است (به نمودار مراجعه کنید). گرده‌گونی که در تصویر نشان داده شده است، نمایش پارامتری زیر را دارد:
x
=
3
cos
φ
+
cos
3
φ
,
y
=
3
sin
φ
+
sin
3
φ
,
{\displaystyle x=3\cos \varphi +\cos 3\varphi ,\quad y=3\sin \varphi +\sin 3\varphi \ ,}
بردار نرمال واحد که به سمت مرکز انحنا اشاره می‌کند، به صورت زیر است:
n
→
(
φ
)
=
(
−
cos
2
φ
,
−
sin
2
φ
)
T
{\displaystyle {\vec {n}}(\varphi )=(-\cos 2\varphi ,-\sin 2\varphi )^{T}}
و شعاع انحنا
3
cos
φ
{\displaystyle 3\cos \varphi }
x
=
3
cos
φ
+
cos
3
φ
−
3
cos
φ
⋅
cos
2
φ
=
⋯
=
3
cos
φ
−
2
cos
3
φ
,
{\displaystyle x=3\cos \varphi +\cos 3\varphi -3\cos \varphi \cdot \cos 2\varphi =\cdots =3\cos \varphi -2\cos ^{3}\varphi ,}
y
=
3
sin
φ
+
sin
3
φ
−
3
cos
φ
⋅
sin
2
φ
=
⋯
=
2
sin
3
φ
,
{\displaystyle y=3\sin \varphi +\sin 3\varphi -3\cos \varphi \cdot \sin 2\varphi \ =\cdots =2\sin ^{3}\varphi \ ,}
که یک گرده گون با نصف اندازه و چرخش ۹۰ درجه است (به نمودار و بخش § معادلات بالا مراجعه کنید).
از آنجایی که گسترنده یک گرده‌گون، یک گرده‌گون دیگر است، گستران گرده گون نیز یک گرده‌گون دیگر است. گرده‌گون اصلی در تصویر، گستران گرده‌گون کوچکتر است.
وارون (سبز) یک گرده‌گون (قرمز) در دایره آبی وارونگی
x
↦
4
a
2
x
x
2
+
y
2
,
y
↦
4
a
2
y
x
2
+
y
2
{\displaystyle x\mapsto {\frac {4a^{2}x}{x^{2}+y^{2}}},\quad y\mapsto {\frac {4a^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}}
در دایره با نقطه میانی
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,0)}
2
a
{\displaystyle 2a}
(
x
2
+
y
2
−
4
a
2
)
3
=
108
a
4
y
2
{\displaystyle (x^{2}+y^{2}-4a^{2})^{3}=108a^{4}y^{2}}
به منحنی درجه ۶ با معادله
(
4
a
2
−
(
x
2
+
y
2
)
)
3
=
27
a
2
(
x
2
+
y
2
)
y
2
{\displaystyle (4a^{2}-(x^{2}+y^{2}))^{3}=27a^{2}(x^{2}+y^{2})y^{2}}
گرده‌گون در زندگی روزمره: یک کاستیک از بازتاب نور از داخل یک استوانه. Arganbright, D. , Practical Handbook of Spreadsheet Curves and Geometric Constructions , CRC Press, 1939, ISBN 0-8493-8938-0 , p. 54.
Borceux, F. , A Differential Approach to Geometry: Geometric Trilogy III , Springer, 2014, ISBN 978-3-319-01735-8 , p. 148.
Lockwood, E. H. , A Book of Curves, Cambridge University Press, 1961, ISBN 978-0-521-05585-7 , p. 7.
![{\displaystyle A=2\cdot {\tfrac {1}{2}}|\int _{0}^{\pi }[x{\dot {y}}-y{\dot {x}}]\;d\varphi |=\cdots =24a^{2}\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}\varphi \;d\varphi =12\pi a^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de13ba263785d0122ca3e5cefc4e65addd140efa)
