قضیه منحنی ژوردان

در توپولوژی، منحنی ژوردان (به انگلیسی: Jordan Curve Theorem) (یا خم ژوردن یا خم جوردن)، که گاهی اوقات آن را منحنی ساده بسته مسطح نیز می‌نامند، یک حلقه پیوسته غیر-خود-متقاطع در صفحه است.^[۱] قضیه منحنی ژوردان ادعا می‌کند که هر منحنی ژوردان صفحه را به یک ناحیه «درونی» محدود شده توسط این منحنی و یک ناحیه «بیرونی» شامل تمام نقاط خارجی نزدیک و دور تقسیم می‌کند، به طوری که هر مسیر پیوسته که یک نقطه از یک ناحیه را به نقطه دیگری متصل می‌کند، در جایی با آن حلقه تلاقی می‌کند. در حالی که به نظر می‌رسد بیان این قضیه به‌طور شهودی واضح است، اما اثبات آن با استفاده از روش ابتدایی به نوعی نبوغ نیاز دارد.«اگرچه JCT یکی از مشهورترین قضایای توپولوژی است، اما حتی در میان ریاضیدانان حرفه‌ای موارد بسیاری وجود دارد که هرگز اثبات آن را نخوانده‌اند.» ((توفربرخ ۱۹۸۰)). اثبات واضح‌تر به ساختار ریاضیات توپولوژی جبری تکیه می‌کند و این امر منجر به تعمیم فضاهایی با ابعاد-بالاتر می‌شود.

قضیه منحنی ژوردان به نام ریاضیدان کامیل جوردن (۱۹۲۲–۱۸۳۸) نامگذاری شده‌است، که اولین اثبات آن را پیدا کرد. برای دهه‌ها، ریاضیدانان به‌طور کلی فکر می‌کردند که این اثبات نادرست است و اولین اثبات دقیق توسط اسوالد وبلن انجام شده‌است. با این حال، این مفهوم توسط توماس سی هیلز و دیگران لغو شده‌است.

اثبات و تعمیم

در سال 1911، قضیه منحنی ژوردن به طور مستقل توسط هنری لبگ و لویتسن براوئر به ابعاد بالا تر تعمیم داده شد.در نتیجه قضیه جدایی ژوردن-براور به وجود آمد.

فرض کنید $X$ یک کره توپولوژیکی $n$ -بعدی در فضای اقلیدسی $n+1$ -بعدی , $\mathbb {R} ^{n+1}$ , تصویر تابعی یک به یک و پیوسته از $n$ -کره , $\mathbb {S} ^{n}$ , به $\mathbb {R} ^{n+1}$ باشد . آنگاه متمم $X$ در $\mathbb {R} ^{n+1}$ ، دقیقاً از دو ناحیه متّصل به هم تشکیل شده . یکی از این ناحیه ها کراندار (داخلی) و دیگری بی کران (خارجی) است . مجموعه $X$ مرز مشترک آنهاست .

اثبات به وسیله قضیه همولوژی صورت میگیرد.اگر $X$ , نسبت به $k$ -کره , هومئومورفیک باشد , آنگاه گروه های همولوژی انتگرالیِ نزولیِ متمم $X$ به صورت زیر هستند:

{\tilde {H}}_{q}(Y)={\begin{cases}\mathbb {Z} ,&q=n-k{\text{ or }}q=n,\\\{0\},&{\text{otherwise}}.\end{cases}}

که این با استقرا روی $k$ و دنباله مایر-ویتوریس اثبات شد.

جستارهای وابسته

قضیه دنجوی-ریش، توصیف مجموعه‌های خاصی از نقاط صفحه است که می‌تواند زیرمجموعه منحنی‌های ژوردان باشد
استخرهای وادا
گروه شبه-فوکسی، یک گروه ریاضی است که منحنی اردن را حفظ می‌کند
آنالیز مختلط

یادداشت

↑ Sulovský, Marek (2012). Depth, Crossings and Conflicts in Discrete Geometry (به انگلیسی). Logos Verlag Berlin GmbH. p. 7. ISBN 978-3-8325-3119-5.

منابع

Berg, Gordon O.; Julian, W.; Mines, R.; Richman, Fred (1975), "The constructive Jordan curve theorem", Rocky Mountain Journal of Mathematics, 5 (2): 225–236, doi:10.1216/RMJ-1975-5-2-225, ISSN 0035-7596, MR 0410701
Filippov, A. F. (1950), "An elementary proof of Jordan's theorem" (PDF), Uspekhi Mat. Nauk (به روسی), 5 (5): 173–176
Hales, Thomas C. (2007a), "The Jordan curve theorem, formally and informally", The American Mathematical Monthly, 114 (10): 882–894, ISSN 0002-9890, MR 2363054
Hales, Thomas (2007b), "Jordan's proof of the Jordan Curve theorem" (PDF), Studies in Logic, Grammar and Rhetoric, 10 (23)
Jordan, Camille (1887), Cours d'analyse (PDF), pp. 587–594
Maehara, Ryuji (1984), "The Jordan Curve Theorem Via the Brouwer Fixed Point Theorem", The American Mathematical Monthly, 91 (10): 641–643, doi:10.2307/2323369, ISSN 0002-9890, JSTOR 2323369, MR 0769530
Narens, Louis (1971), "A nonstandard proof of the Jordan curve theorem", Pacific Journal of Mathematics, 36: 219–229, doi:10.2140/pjm.1971.36.219, ISSN 0030-8730, MR 0276940
Osgood, William F. (1903), "A Jordan Curve of Positive Area", Transactions of the American Mathematical Society, 4 (1): 107–112, doi:10.2307/1986455, ISSN 0002-9947, JFM 34.0533.02, JSTOR 1986455
Ross, Fiona; Ross, William T. (2011), "The Jordan curve theorem is non-trivial", Journal of Mathematics and the Arts, 5 (4): 213–219, doi:10.1080/17513472.2011.634320. author's site
Sakamoto, Nobuyuki; Yokoyama, Keita (2007), "The Jordan curve theorem and the Schönflies theorem in weak second-order arithmetic", Archive for Mathematical Logic, 46 (5): 465–480, doi:10.1007/s00153-007-0050-6, ISSN 0933-5846, MR 2321588
Thomassen, Carsten (1992), "The Jordan–Schönflies theorem and the classification of surfaces", American Mathematical Monthly, 99 (2): 116–130, doi:10.2307/2324180, JSTOR 2324180
Tverberg, Helge (1980), "A proof of the Jordan curve theorem" (PDF), Bulletin of the London Mathematical Society, 12 (1): 34–38, doi:10.1112/blms/12.1.34
Veblen, Oswald (1905), "Theory on Plane Curves in Non-Metrical Analysis Situs", Transactions of the American Mathematical Society, 6 (1): 83–98, doi:10.2307/1986378, JSTOR 1986378, MR 1500697
Lee, John M. (2012). Introduction to Smooth Manifolds. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 218 (Second ed.). New York London: Springer-Verlag. ISBN 978-1-4419-9981-8. OCLC 808682771.

پیوند به بیرون

M.I. Voitsekhovskii (2001) [1994], "Jordan theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

6،۵۰۰ خط کامل اثبات رسمی قضیه منحنی ژوردان در میزار.
مجموعه اثبات‌های قضیه منحنی ژوردان در صفحه اصلی اندرو رانیکی
اثبات ساده قضیه منحنی ژوردان (PDF) توسط دیوید بی. گولد

A bot will complete this citation soon. Click here to jump the queue arXiv:[۱].

doi:10.1007/15.40062-014-0089-0

[1] Sulovský, Marek (2012). Depth, Crossings and Conflicts in Discrete Geometry (به انگلیسی). Logos Verlag Berlin GmbH. p. 7. ISBN 978-3-8325-3119-5.

[۱]