پیش‌نویس:مدل بیانکونی–باراباسی

چگالش بوز-اینشتین: برازش در مدل بیانکونی-باراباسی میتواند به ما در فهم بهتر چگالش بوز-اینشتین کمک کند. در این تصویر مشاهده می‌کنیدکه قله ها با کاهش دما افت می‌کنند و تعداد بیشتری اتم چگالیده شده و در یک سطح انرژی قرار می‌گیرند. در دماهای پایین که مقدار برازش بیشتر است، این مدل پیش‌بینی می‌کند که اتم های بیشتری به یک سطح انرژی مشخص متصل هستند.

مدل بیانکونی-باراباسی یک مدل در علم شبکه است که رشد شبکه های در حال تکامل را توضیح می‌دهد. این مدل توضیح دهد که چگونه راس‌ها با ویژگی‌های مختلف با نرخ‌های متفاوتی یال به دست می‌آورند. همچنین پیش‌بینی می‌کند که افزایش درجه‌ی یک راس متناسب با عدد برازش آن است و می‌توان توزیع درجه راس را برای این شبکه محاسبه کرد. مدل بیانکونی–باراباسی از نام خالقان آن ژینسترا بیانکونی و آلبرت-لاسلو باراباسی نامگذاری شده است. این مدل تعمیمی از مدل باراباسی-آلبرت است که می تواند چگالش گاز بوزونی را توصیف کند. درواقع این مدل نگاشتی از گاز بوزونی است که میتواند تغییر فاز های توپولوژیکی سیستم را نیز توصیف کنند.

مفهوم اصلی مدل

برای ساختن شبکه ی باراباسی-آلبرت (BA) از دو مفهوم کلی استفاده می‌شود: رشد و اتصال ترجیحی . در اینجا رشد به معنی افزایش تعداد راس‌های شبکه با گذر زمان است. یعنی در هر واحد زمانی یک راس جدید به شبکه‌ی ما وارد می‌شود. اتصال ترجیحی به این معنی است که راس‌های با درجه‌ی بالاتر یال‌های بیشتری را با گذر زمان دریافت می کنند. می‌توان این را به عنوان یک اتفاق طبیعی در نظر گرفت. هر راسی که وارد شبکه شود، ترجیح می‌دهد با یک شاه‌راس اتصال برقرار کند و بدین ترتیب درجه راس شاه‌راس ها با سرعت بیشتری افزایش پیدا می‌کند.

مدل بیانکونی-باراباسی، علاوه بر این دو مفهوم، از مفهوم جدید دیگری به نام عدد برازش استفاده می کند. این مدل یک کمیت ذاتی نیز وارد سیستم می‌کند و به هر راس نسبت می‌دهد که تمام نماینده‌ی ویژگی های ذاتی به جز درجه راس می‌باشد. هر چه عدد برازش بیشتر باشد، پتانسیل آن راس برای جذب یال بالاتر می‌رود و شانس بیشتری برای برقراری اتصال پیدا ‌می‌کند. بنابراین عدد برازش را می توان به عنوان توانایی جذب یال‌های جدید تعریف کرد.

در مدل باراباسی-آلبرت، راس‌های قدیمی سیستم با گذر زمان و اضافه شدن رئوس جدید، یال های بیشتری کسب می‌کنند و در نتیجه درجه راس‌های بالاتری دارند. هر راسی که وارد شبکه شود، ترجیح می‌دهد که به رئوس اولیه‌ی شبکه که درجه راس بالاتری دارند متصل شود. بنابراین راس‌های قدیمی سیستم همواره برنده هستند و تبدیل به شاه‌راس می‌شوند و درواقع سن راس تعیین کننده موفقیت آن خواهد بود. بر خلاف این مدل، مدل باراباسی-بیانکونی با نسبت دادن یک عدد برازش به هر راس ویژگی های دیگری علاوه بر میزان ارتباطات وارد شبکه می‌کند. هرچقدر این عدد بزرگ‌تر باشد نرخ جذب یال آن راس هم بالاتر می‌رود. در نتیجه خاصیت "آغازگر برنده است" را در شبکه از بین می‌برد و به ‌راس‌های تازه وارد شانس برنده شدن و تشکیل ارتباطات بالاتر می‌دهد.

مدل بیانکونی-باراباسی به واقعیت نزدیک‌تر است. برای مثال لزوما شرکت‌های قدیمی در بازار خرید و فروش موفق‌ترین نخواهند بود. عوامل خارجی بسیاری میتوانند بازار فروش یک شرکت قدیمی را محدود کنند تا شرکت‌های نوین جایگزین آن‌ها شوند. مثال‌های زیر را در نظر داشته باشید:

• شرکت محصولات لبنی میهن در سال 1350 تاسیس شد و هم‌اکنون سهم عظیمی از بازار فروش محصولات لبنی را در دست دارد و در حال رقابت موفقی با کارخانه‌ی لبنیات پاک است که در سال 1338 تاسیس شده است.
• با ورود گوگل به عرصه‌ی ارتباطات، مشتریان یاهو عملا به این موتور جست‌وجوی جدید مهاجرت کردند. یکی از علل این اتفاق استفاده‌ی گوگل از الگورتیم رتبه بندی تارنمای بهینه بود.

این مدل می تواند تغییر فاز چگالش را در تحول شبکه پیچیده نشان دهد. مدل BB همچنین می تواند خواص توپولوژیکی شبکه‌ی اینترنتی را پیش بینی کند.

الگوریتم

شبکه‌ی دارای اعداد برازش، با تعداد ثابتی از راس‌های به هم پیوسته آغاز می شود. هرکدام از این رئوس عدد برازش متفاوتی دارند که با پارامتر $\eta _{j}$ نشان داده می‌شود که از تابع توزیع اعداد برازش یعنی $\rho (\eta )$ انتخاب شده است.

رشد

در اینجا به جهت سهولت کار فرض می‌کنیم که اعداد برازش نسبت داده شده به رئوس مستقل از زمان و ثابت هستند. یک راس جدید j با m عدد یال و عدد برازش $\eta _{j}$ در هر مرحله زمانی به شبکه اضافه می شود.

پیوست ترجیحی

احتمال اینکه یک راس تازه وارد یک یال به راس $i$ در داخل شبکه وصل کند به $k_{i}$ و $\eta _{i}$ بستگی دارد و از این قرار است:

$\Pi _{i}={\frac {\eta _{i}k_{i}}{\sum _{j}\eta _{j}k_{j}}}.$

با توجه به اینکه راس تازه‌وارد $m$ یال جدید به همراه خود داخل شبکه می‌آورد، راس $i$ ام m بار شانس برقراری اتصال خواهد داشت. بنابراین نرخ تغییرات درجه راس برای راس i در واحد زمان از این قرار خواهد بود:

${\frac {\partial k_{i}}{\partial t}}=m{\frac {\eta _{i}k_{i}}{\sum _{j}\eta _{j}k_{j}}}$

با فرض اینکه $k_{i}$ یک تابع تحول زمانی توانی دارد، توان این تابع وابسته به عدد برازش خواهد بود و میتوان آن‌را با $\beta (\eta _{i})$ نشان داد:

$k(t,t_{i},\eta _{i})=m\left({\frac {t}{t_{i}}}\right)^{\beta (\eta _{i})}$ ،

در اینحا $t_{i}$ نشان‌دهنده‌ی زمان ورود راس $i$ به شبکه است و روابط زیر برقرار است.

$\beta (\eta )={\frac {\eta }{C}}{\text{ and }}C=\int \rho (\eta ){\frac {\eta }{1-\beta (\eta )}}\,d\eta .$

خواص شبکه

عدد فیتنس برابر

اگر اعداد برازش همه‌ی راس‌ها یکسان باشد، مدل بیانکونی-باراباسی معادل مدل باراباسی-آلبرت خواهد بود، زمانی که درجه راس در نظر گرفته نمی شود، مدل ما معادل مدل عدد برازش (نظریه شبکه) خواهد شد.

زمانی که اعداد برازش یکسان هستند، یعنی احتمال برقراری یال بین راس i و راس تازه‌وارد از این قرار خواهد بود:

$\Pi _{i}={\frac {k_{i}}{\sum _{j}k_{j}}}.$

تابع توزیع درجه

تابع توزیع درجه در مدل بیانکونی-باراباسی به تابع توزیع اعداد برازش یعنی $\rho (\eta )$ بستگی دارد . دو سناریو وجود دارد که می تواند اتفاق بیفتد. اگر تابع توزیع عدد برازش یک دامنه‌ی محدود داشته باشد، توزیع درجه نیز مانند مدل BA دارای یک تابع تحول توانی خواهد بود. در حالت دوم، اگر تابع توزیع عدد برازش دامنه‌ی نامتناهی داشته باشد، راسی که بیشترین عدد برازش را دارد تعداد زیادی راس را جذب می کند.

اندازه‌گیری عدد برازش در شبکه به کمک روش‌های تجربی و استفاده از داده

روش های آماری مختلفی برای اندازه گیری عدد برازش رئوس یعنی $\eta _{i}$ وجود دارد که از داده‌های شبکه‌های واقعی استفاده می‌کند. به کمک این اندازه گیری، می توان توزیع برازش $\rho (\eta )$ را بررسی کرد و یا مدل باراباسی-بیانکونی را با مدل های مختلف دیگر برای توصیف شبکه مقایسه کرد. از آنجایی که عدد برازش یک اهمیت به راس نسبت می‌دهد که قابل مقایسه با اهمیت بقیه‌ی رئوس شبکه است، می‌توان با مقایسه‌ی تحول زمانی راس با تحول زمانی بقیه‌ی شبکه عدد برازش آن راس را پیدا کرد.

مطالبی بیشتر درباره‌ی مدل بیانکونی-باراباسی

مدل بیانکونی-باراباسی به شبکه‌های وزنی نیز تعمیم یافته است که مقیاس‌ شدن خطی و فراخطی قدرت را با درجه راس‌ها را نشان می‌دهد که مشابه داده‌های شبکه واقعی است. این مدل وزنی می تواند منجر به تراکم وزن های شبکه شود که تعداد کمی از یال ها کسری محدود از وزن کل شبکه را بدست آورند. مدل بیناکونی-باراباسی همچنین می تواند برای مطالعه شبکه های استاتیک که در آن تعداد راس‌ها ثابت است، اصلاح شود.

چگالش بوز-انیشتین

چگالش بوز-انیشتین در شبکه ها، یک تغییر فاز قابل مشاهده در شبکه های پیچیده است که با مدل بیانکونی-باراباسی توصیف می‌شود. این تغییر فاز پدیده "برنده همه چیز را می گیرد" را در شبکه های پیچیده پیش بینی می کند و به مدل ریاضی توصیف کننده‌ی چگالش بوز-اینشتین در فیزیک نگاشت می‌شود.

پیش زمینه

در فیزیک ، چگالش بوز-اینشتین حالتی از ماده است که در گازهای خاصی در دمای بسیار پایین رخ می دهد. هر ذره بنیادی را می توان به یکی از این دو نوع طبقه بندی کرد: بوزون یا فرمیون . به عنوان مثال، الکترون یک فرمیون است، در حالی که فوتون و اتم هلیوم بوزون هستند. در مکانیک کوانتومی ، انرژی یک ذره‌ محدود به مجموعه ای از مقادیر گسسته است که سطوح انرژی نامیده می شوند. یکی از ویژگی‌های مهم فرمیون این است که از اصل طرد پائولی پیروی می کند. یعنی هیچ دو فرمیونی نمی توانند یک حالت را اشغال کنند. از طرف دیگر، بوزون ها از اصل طرد تبعیت نمی کنند و در هر تعدادی می توانند در یک حالت انرژی قرار داشته باشد. در نتیجه، در انرژی‌های کم (یا دماهای بسیار پایین)، اغلب بوزون‌های موجود در گاز بوزونی می‌توانند در پایین‌ترین حالت انرژی چگالیده شوند و یک چگالش بوز-انیشتین ایجاد کنند.

بوز و انیشتین ثابت کرده اند که خواص آماری گاز بوزونی توسط آمار بوز-انیشتین کنترل می شود. در آمار بوز-انیشتین، هر تعداد بوزون یکسان می‌توانند در یک حالت مشخص باشند. به طور خاص، در حالتی با انرژی ε ، تعداد بوزون های بدون برهمکنش در حالت تعادل و دمای T = 1/β برابر است با:

$n(\varepsilon )={\frac {1}{e^{\beta (\varepsilon -\mu )}-1}}$

که در آن ثابت μ توسط معادله ای تعیین می شود که بقای تعداد ذرات را توصیف می کند و مربوط به پتانسیل شیمیایی است.

در این صورت تعداد کل بوزون‌های سیستم برابر است با:

$N=\int d\varepsilon \,g(\varepsilon )\,n(\varepsilon )$

که در آن g(ε) چگالی حالات سیستم است.

این معادله ممکن است در دماهای پایین راه حلی نداشته باشد یعنی زمانی که g(ε) → 0 برای ε → 0. در این حالت دمای بحرانی T_c به‌گونه‌ای یافت می‌شود که برای T < T_c سیستم در فاز چگالیده‌ی بوز-انیشتین است و کسر متناهی از بوزون‌ها در حالت پایه هستند.

چگالی حالت ها یعنی g(ε) به ابعاد فضا بستگی دارد. بدین معنی که یه ارتباط توانی با بعد فضا دارد: $g(\varepsilon )\sim \varepsilon ^{\frac {d-2}{2}}$

بنابراین g(ε) → 0 برای ε → 0 فقط در ابعاد d > 2 رخ می‌دهد . یعنی، چگالش بوز-انیشتین گاز بوزونی ایده آل فقط برای ابعاد d > 2 می‌تواند رخ دهد.

مفهوم

تکامل بسیاری از سیستم‌های پیچیده، از جمله شبکه جهانی وب، شبکه کسب‌وکار و شبکه‌‌ی استناد علمی توسط مدل بیانکونی-باراباسی توصیف می‌شود. این مدل شامل دو ویژگی اصلی شبکه‌های دارای رشد است: رشد اندازه‎‌ی شبکه با اضافه شدن راس‎‌ها و یال های جدید و پتانسیل درونی هر راس برای به دست آوردن یال‌های جدید که به کمک عدد برازش نشان داده می‌شود . بنابراین این مدل به عنوان مدل برازش نیز شناخته می شود. علیرغم ماهیت برگشت ناپذیر و غیرتعادلی آنها، این شبکه ها از آمار بوزونی پیروی می‌کنند و می‌توانند به گاز بوز-انیشتین نیز نگاشت شوند. در این نگاشت، هر راس دارای یک حالت انرژی که همان عدد برازش است می‌باشد و هر یال جدید متصل به یک راس نشان دهنده‎ یک ذره‌ی بوزونی است که آن حالت انرژی را اشغال می‌کند. این نگاشت پیش‌بینی می‌کند که مدل بیانکونی-باراباسی می‌تواند دچار یک تغییر فاز توپولوژیکی شود که معادل چگالش بوز-اینشتین گاز بوزونی است. بنابراین این تغییر فاز در شبکه های پیچیده چگالش بوز-انیشتین نامیده می‌شود.

پس به طور خلاصه این نگاشت را تعریف می‌کنیم.

• به راس با عدد برازش $\eta _{i}$، به کمک یک رابطه‌ی لگاریتمی یک سطح انرژی نسبت می‌دهیم.
• هر یال معادل یک ذره است که در سطح انرژی مربوط به آن راس قرار گرفته‌است.
• بنابراین ورود یک راس جدید با m یال جدید، نشان‌دهنده‌ی ورود m ذره با انرژی تعیین شده توسط فیتنس راس است.

پرونده:Schematic illustration of mapping between network model and Bose-Einstein Condensate.jpg

تصویر شماتیک از نگاشت بین مدل شبکه و گاز بوزونی.

نگاشت ریاضی از تحول شبکه به گاز بوزونی

با شروع از مدل بیانکونی-باراباسی، نگاشت گاز بوزونی به یک شبکه را می توان با تخصیص انرژی ε_i به هر راس، که مرتبط با عدد برازش است، انجام داد

$\varepsilon _{i}=-{\frac {1}{\beta }}\ln {\eta _{i}}$

که در آن β = 1 / T و متناسب با عکس دما است. در واقع زمانی که دما نزدیک صفر است همه‌ی راس‌ها عدد برازش یکسانی دارند و در حالت برعکس رئوس با "انرژی" متفاوت عدد برازش بسیار متفاوتی دارند. ما فرض می کنیم که شبکه از طریق یک مکانیسم اتصال ترجیحی تکامل می یابد. در هر بار یک راس جدید i با انرژی ε_i که از توزیع احتمال p(ε) گرفته شده است وارد شبکه می شود و یال جدیدی را به راس j که با احتمال زیر انتخاب شده است وصل می کند:

$\Pi _{j}={\frac {e^{-\beta \varepsilon _{j}}k_{j}}{\sum _{r}e^{-\beta \varepsilon _{r}}k_{r}}}.$

در نگاشت به یک گاز بوزونی، ما به هر یال جدیدی که با اتصال ترجیحی به راس j متصل می‌شود، ذره ای در حالت انرژی ε_j اختصاص می دهیم.

تئوری در حالت پیوستار پیش‌بینی می‌کند که نرخ افزایش درجه‌ی راس i ام از این قرار خواهد بود.

${\frac {\partial k_{i}(\varepsilon _{i},t,t_{i})}{\partial t}}=m{\frac {e^{-\beta \varepsilon _{i}}k_{i}(\varepsilon _{i},t,t_{i})}{Z_{t}}}$

در اینجا $k_{i}(\varepsilon _{i},t,t_{i})$ نشان دهنده تعداد یال‌های متصل به راس i است که در بازه‌ی زمانی $t_{i}$ به شبکه اضافه شده است. $Z_{t}$ تابع پارش است که به صورت زیر تعریف می شود و به نوعی جمع احتمالات است:

$Z_{t}=\sum _{i}e^{-\beta \varepsilon _{i}}k_{i}(\varepsilon _{i},t,t_{i}).$

جواب این معادله دیفرانسیل به صورت زیر است:

$k_{i}(\varepsilon _{i},t,t_{i})=m\left({\frac {t}{t_{i}}}\right)^{f(\varepsilon _{i})}$

جایی که توان دینامیکی $f(\varepsilon )$ دارای شکل نمایی است.

$f(\varepsilon )=e^{-\beta (\varepsilon -\mu )}$

که در آن μ نقش پتانسیل شیمیایی را ایفا می کند در به صورت کلی در این معادله صدق می‌کند.

$\int d\varepsilon \,p(\varepsilon ){\frac {1}{e^{\beta (\varepsilon -\mu )}-1}}=1$

در اینجا p(ε) احتمال این است که یک راس "انرژی" ε و "عدد برازش" η = e^−βε داشته باشد. در حد، t → ∞ ، عدد اشغال از آمار آشنای گاز بوزونی پیروی می‌کند.

$n(\varepsilon )={\frac {1}{e^{\beta (\varepsilon -\mu )}-1}}.$

تعریف ثابت μ نیز در مدل های شبکه به طرز شگفت آوری شبیه به تعریف پتانسیل شیمیایی در گاز بوزونی است. علاوه براین، میتوان مشاهده کرد که در دماهای پایین و سطح انرژی‌های کم، تغییر فاز بیان شده رخ می‌دهد و یکی از راس‌ها با عدد برازش بیشنیه، کسری متناهی از همه یال‎‎‌ها را از آن خود می‎‌کند و بدین ترتیب یک تغییر توپولوژیکی در سیستم رخ می‌دهد که سیستم را ستاره‌مانند می‌کند.

تغییر فاز بوز-اینشتین در شبکه‌های پیچیده

شواهد عددی برای چگالش بوز-اینشتین در یک مدل شبکه

نگاشت گاز بوزونی وجود دو فاز مشخص را به عنوان تابعی از توزیع انرژی در داخل شبکه پیش بینی می کند. در مرحله "عدد برازش بیشتر غنی‌تر"، که در مورد تابع توزیع برازش یکنواخت بحث می‎کند، راس‌های با عدد برازش بیشتر با آهنگ بالاتری نسبت به راس‌های قدیمی‌تر اما با عدد برازش کم‌تر یال به دست می‌آورند. درنهایت لایق‌ترین راس بیشترین یال‌ها را خواهد داشت، اما غنی ترین راس برنده مطلق نیست، زیرا سهم یال‌هایش (یعنی نسبت یال‌های آن به تعداد کل یال‌های سیستم) در حد اندازه سیستم بزرگ به صفر می رسد(شکل 2(b)). نتیجه غیرمنتظره این نگاشت، امکان تراکم بوز-اینشتین برای T < T_BE است، زمانی که لایقترین راس کسر محدودی از یال‌ها را بدست می آورد و این سهم یال ها را در طول زمان حفظ می کند (شکل 2(c)).

به عبارت دیگر، در سیستم داخل فاز بی‌مقیاس، لایق‌ترین راس با بیشترین عدد برازش تبدیل به شاه‌راس می‌شود و تابع توزیع درجات شبکه در هر لحظه شکل توانی دارد. بدین معنی که شاه‌راس به حالت زیرخطی رشد میکند و شاه‌راس هایی دیگر با اندازه‌ی قابل مقایسه در سیستم هست و در حالت بی‌مقیاس قرار داریم.

ازطرف دیگر، در فاز چگالش بوز-انیشتین، شبکه دارای یک ابر شاه‌راس بسیار بزرگ است و بقیه‌‎ی راس ها با سطوح انرژی بالا تقریبا خالی می‌مانند. توپولوژی این شبکه متفاوت است و چون یک شاه‌راس غول داریم، سیستم از حالت بی‌مقیاس خارج می‌شود.

بنابر توضیحاتی که برای تغییر فاز مشاهده کردیم، تابع توزیع عدد براش $\rho (\eta )$ که منجر به چگاش می‌شود اینگونه است.

$\rho (\eta )=(\lambda +1)(1-\eta )^{\lambda },$

که در اینجا $\lambda =1$ .

با این حال، وجود چگالش بوز-اینشتین یا فاز "عدد برازش بیشتر غنی تر" به دما یا β در سیستم بستگی ندارد، بلکه فقط به شکل تابع توزیع عدد برازش $\rho (\eta )$ بستگی دارد. در پایان، β از تمام کمیت های مهم توپولوژیکی خارج می‌شود. در واقع، می توان نشان داد که چگالش بوز-اینشتین در مدل عدد برازش حتی بدون نگاشت به گاز بوزونی، وجود دارد.

همچنین ببینید

• مدل باراباسی – آلبرت

لینک های خارجی

• شبکه ها: مقدمه ای بسیار کوتاه
• پویایی شبکه پیشرفته