پیش‌نویس:دستگاه دوگان

در ریاضیات ، دستگاه دوگان ، جفت دوگان یا دوگانگی روی یک میدانمانند $\mathbb {K}$ عبارت است از یک سه‌تایی مرتب مانند $(X,Y,b)$ که از دو فضای برداری $X$ و $Y$ بر فراز $\mathbb {K}$ تشکیل شده است و به یک نگاشت دوخطی غیر تبهگن به شکل $b:X\times Y\to \mathbb {K}$ مجهز است.

نظریه دوگانگی در ریاضیات، به عبارت دیگر مطالعه سامانه‌های دوگان، جایگاه مهمی در تحلیل تابعی دارد و از طریق نظریه فضاهای هیلبرت ، کاربردهای گسترده ای در مکانیک کوانتومی دارد.

تعریف، نمادگذاری و قراردادها

جفت شدن

یک جفت روی یک میدان مانند $\mathbb {K}$ یک سه‌تایی مرتب مانند ${\textstyle (X,Y,b)}$ یا به طور معادل به شکل $b(X,Y)$ است که از دو فضای برداری $X$ و $Y$ بر فراز $\mathbb {K}$ تشکیل شده و به یک نگاشت دو خطی مانند $b:X\times Y\to \mathbb {K}$ مجهز است. همچنین به آن، نگاشت دوخطی مرتبط با جفت یا به صورت ساده‌تر نگاشت جفت‌کننده یا شکل دوخطی گفته می‌شود. برای سادگی، این مقاله فقط نمونه هایی را پوشش می دهد که در آن $\mathbb {K}$ یا اعداد حقیقی $\mathbb {R}$ است یا اعداد مختلط $\mathbb {C}$.

برای هر $x\in X$ ، تعريف می‌کنیم$${\begin{alignedat}{4}b(x,\,\cdot \,):\,&Y&&\to &&\,\mathbb {K} \\&y&&\mapsto &&\,b(x,y)\end{alignedat}}$$و برای هر $y\in Y,$ تعريف می‌کنیم$${\begin{alignedat}{4}b(\,\cdot \,,y):\,&X&&\to &&\,\mathbb {K} \\&x&&\mapsto &&\,b(x,y).\end{alignedat}}$$هر $b(x,\,\cdot \,)$ یک تابعی خطی روی فضای $Y$ و هر $b(\,\cdot \,,y)$ یک تابعی خطی روی فضای $X$ است. قرار می دهیم

$b(X,\,\cdot \,):=\{b(x,\,\cdot \,):x\in X\}\qquad {\text{ و }}\qquad b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}$

که در آن هر یک از این مجموعه ها یک فضای برداری از تابعی‌های خطی تشکیل می دهند.

نوشتن $\langle x,y\rangle$ بجای $b(x,y)$ در متون ریاضی رایج است. در این مورد اغلب ممکن است جفت‌شدگی به شکل $\left\langle X,Y\right\rangle$ به جای $(X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ نشان داده شود. با این وجود، در این مقاله از $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ برای نگاشت برآورد کانونیک (تعریف شده در زیر) استفاده می شود تا از سردرگمی برای خوانندگانی که با این موضوع آشنا نیستند جلوگیری شود.