مقدارویژه و بردارویژه

در جبر خطی، یک بردارویژه (به انگلیسی: Eigenvector، ‎/ˈaɪɡənˌvɛktər/‎) یا بردار مشخصه یک تبدیل خطی، یک بردار ناصفر است که وقتی آن تبدیل خطی رویش اعمال شود، حاصل برابر اسکالری ضرب در آن بردار خواهد بود (این کار باعث تغییر مقیاس، یا تغییر اندازه بردار می‌شود، ولی راستا آن را تغییر نمی‌دهد). مقدارویژه (به انگلیسی: Eigenvalue) متناظر با یک بردار ویژه که اغلب به صورت $\lambda$ نشان داده می‌شود، همان اسکالری است که در توصیف بردار ویژه ضرب شد.

از نظر هندسی، یک بردارویژه متناظر با یک مقدارویژه حقیقی ناصفر، به سمتی اشاره می‌کند که توسط تبدیل خطی مورد نظر کشیده می‌شود، همچنین مقدارویژه متناظر با این بردار ویژه نیز فاکتوری است که توسط آن کشیدگی صورت گرفته. اگر مقدارویژه منفی باشد، جهت برعکس می‌شود. به بیان نادقیق، در فضای برداری چند بعدی، بردارویژه دوران نمی‌کند.

تعریف صوری

اگر $T$ یک تبدیل خطی از فضای برداری $V$ به خودش، روی میدانی چون $F$ باشد، و $\mathbf {v}$ یک بردار ناصفر در $V$ باشد، آنگاه $\mathbf {v}$ یک بردارویژه $T$ است اگر $T(\mathbf {v} )$ ضریب اسکالری از $\mathbf {v}$ باشد. بدین شکل:

$T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} ,$

که در آن $\lambda$ یک اسکالر در $F$ است که به آن مقدارویژه، مقدار مشخصه یا ریشه مشخصه متناظر با $\mathbf {v}$ نیز می‌گویند.

برای یک پایه خاص، تناظر مستقیمی بین ماتریس‌های مربعی n-در-n و تبدیلات خطی از یک فضای برداری n-بعدی به خودش وجود دارد. ازین رو، در یک فضای برداری متناهی-بعدی، به‌طور معادل می‌توان مقادیر و بردار ویژه‌ها را با استفاده از زبان ماتریس‌ها یا زبان تبدیلات خطی توصیف نمود.

اگر $V$ یک فضای برداری متناهی-بعدی باشد، تعریف فوق معادل است با:

$A\mathbf {u} =\lambda \mathbf {u}$

که در آن $A$ نمایش ماتریسی $T$ و $\mathbf {u}$ بردار مختصاتی $\mathbf {v}$ است.

بررسی کلی

مقدارویژه و بردارویژه اغلب در تحلیل تبدیلات خطی بروز پیدا می‌کنند. پیشوند انگلیسی -eigen در انگلیسی از کلمه eigen آلمانی گرفته شده (هم‌خانواده با کلمه انگلیسی own) که در آلمانی به معنای «مناسب»، «مشخصه»، «خود» می‌باشد. در اصل، از این مفاهیم جهت مطالعه محورهای اصلی دوران اجسام صلب استفاده می‌شد، اما بعد کاربردهای گسترده‌تری چون این موارد پیدا کردند: تحلیل پایداری، تحلیل ارتعاش، اوربیتال‌های اتمی، تشخیص چهره و قطری سازی ماتریس.

اساساً بردار ویژه ای چون $\mathbf {v}$ از یک تبدیل خطی $T$، برداری ناصفر است با این ویژگی که اگر $T$ بر آن اعمال شود، تغییر راستا ندهد. اعمال $T$ به بردارویژه مورد نظر، تنها مقیاس بردار ویژه را به نسبت $\lambda$ تغییر می‌دهد (یعنی طول آن را تغییر می‌دهد)، به $\lambda$ مقدارویژهٔ بردارویژه $\mathbf {v}$ گویند. این شرط را می‌توان با معادله زیر بیان کرد:

$T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} ,$

که به آن معادله ویژه گویند. در کل، $\lambda$ ممکن است هر اسکالری باشد. به عنوان مثال، $\lambda$ ممکن است منفی باشد، در این صورت، بردارویژه جهت تحت تغییر مقیاس تغییر جهت می‌دهد، همچنین مقدار ویژه ممکن است صفر یا یک عدد مختلط باشد.

در این نگاشت برشی، بردار قرمز تغییر جهت داده اما بردار آبی بین دو تصویر بدون تغییر جهت است. بردار آبی رنگ بردارویژه این نگاشت برشی است چرا که تغییر جهت نداده. از آنجا که بردار آبی تغییر مقیاس هم نداده (یعنی طولش تغییر نیافته‌است)، پس مقدارویژه آن ۱ خواهد بود.

تصویر مونا لیزا در اینجا، مثالی تصویری و شهودی ازین بحث است. تبدیل خطی در این مثال را نگاشت برشی می‌نامند. نقاط نیمه بالایی به سمت راست جابجا شده‌اند و نقاط نیمه پایینی به سمت چپ. میزان جابجایی نقاط متناسب با این است که به چه میزان از محور افقی فاصله دارند؛ بنابراین بردارهایی که به هر نقطه از تصویر اصلی اشاره کرده بودند، با این تبدیل (بسته به موقعیتشان) طولانی‌تر یا کوتاه‌تر می‌شوند. نقاطی که در طول محور افقی قرار دارند هیچ تغییر موقعیتی نمی‌دهند و جابجا نمی‌شوند؛ لذا، هر برداری که مستقیماً به راست یا چپ اشاره کنند و مؤلفه عمودیشان صفر باشد، بردار ویژه ای برای این تبدیل محسوب می‌شوند، چون تحت این تبدیل تغییر جهت نمی‌دهند. به علاوه، چنین نگاشتی باعث تغییر طول نیز نمی‌شود.

فضای برداری با بعد متناهی

در فضاهای برداری متناهی، می‌توانیم مسئله مقدارویژهٔ را به شیوهٔ ضرب ماتریسی بنویسیم. ماتریس مربعی $A\!$ نگاشت خطی است. بردار ناصفر $x\!$ را بردارویژه $A\!$ و عدد $\lambda \!$ را مقدارویژه آن می‌گوییم، چنانچه معادله ماتریسی زیر بین آن‌ها برقرار باشد:

$Ax=\lambda x\!$

در معادله ماتریسی حاضر دو مجهول وجود دارد: بردارویژه $x\!$ و مقدارویژه $\lambda \!$. پس حل یکتایی برای آن وجود ندارد.

برای نمونه:

ماتریس زیر را در نظر می‌گیریم:

$A={\begin{bmatrix}1&2\\2&1\\\end{bmatrix}}$

معادله ماتریسی بالا خواهد شد:

${\begin{bmatrix}1&2\\2&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\end{bmatrix}}=\lambda {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\end{bmatrix}}$

ابتدا معادله را به صورت همگن درآورده و بردار

${\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\end{bmatrix}}$

را که قرار است بردار ویژه ما باشد در فاکتور قرار می‌دهیم:

${\begin{pmatrix}{\begin{bmatrix}1&2\\2&1\\\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\end{pmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\end{bmatrix}}=0$

در واقع ما از ماتریس همانی (یکه) دوبعدی به‌خاطر حفظ طبیعت ماتریسی جمله‌ها استفاده کرده‌ایم. پس از ضرب $\lambda$ در ماتریس همانی و تفریق دو ماتریس داریم:

${\begin{bmatrix}1-\lambda &2\\2&1-\lambda \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\end{bmatrix}}=0$

معادله ماتریسی حاصل حالتی خاص دارد. به منظور مقایسه و جهت وضوح در ادامه، معادله اسکالر بسیار ساده زیر را در نظر می‌گیریم:

$ay=0\!$

که در اینجا $a\!$ عددی ثابت است. متغیر مجهول $y\!$، تنها و تنها، زمانی جواب غیر از صفر اختیار می‌کند که داشته باشیم:

$a=0\!$

که در این صورت، هر عددی جواب این معادله است.

برای معادله ماتریسی هم درست همین حالات را داریم؛ یعنی، برای وجود جواب‌های غیر صفر به بردار ویژه

$x={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\end{bmatrix}}$

لازم است که دترمینان ماتریس ضرایب صفر شود، و اقناع همین شرط است که به شکل‌یابی معادله مشخصه ماتریس $A\!$ می‌انجامد. پس، داریم:

$\det {\begin{bmatrix}1-\lambda &2\\2&1-\lambda \end{bmatrix}}=(1-\lambda )^{2}-4=0.$

با حل این معادله درجه دوم دو جواب زیر برای دو مقدار ویژه ماتریس مفروض به‌دست می‌آیند:

$\lambda _{1}=3,\lambda _{2}=-1\!$

نکات و اشارات

تجزیه مقادیر ویژه را می‌توان تکنیکی بسیار مؤثر و قوی در تبدیل پیچیدگی به سادگی دانست. با نگاهی دقیق به این معادله می‌شود رمز این توانائی را تا حدودی دید:

ضرب ماتریس $A\!$ در بردار $x\!$ در سمت چپ (عملی سنگین) به ضرب تنها و تنها یک اسکالر ساده در همان بردار (عملی سبک و سریع) در سمت راست تقلیل یافته‌است.

اگر قرار باشد بردار A در ماتریس T به میزان n بار ضرب شود عمل به توان رساندن T از نظر محاسباتی بسیار پرهزینه و زمان‌بر است. اگر ماتریس T قطری باشد به توان رساندن ماتریس T برابر با، به توان‌رساندن قطر ماتریس است. در صورتی که T قطری نباشد برای کاهش حجم محاسبات و ساده‌سازی، باید از مقدار ویژه و بردار ویژه استفاده کرد.

فضاهای بی‌نهایت بعدی

توابع پیوسته ریاضی را می‌توان بردارهایی با تعداد بی‌نهایت مؤلفه در نظر گرفت، که در فضایی بی‌نهایت بعدی جای گرفته باشد. عمل‌گرهای قابل اعمال بر این‌گونه بردارها هم بی‌نهایت بعدی بوده و استفاده از مقدار ویژه‌های آن‌ها نقشی کارسازتر و پراهمیت‌تر به خود می‌گیرد.

عمل‌گر مشتق‌گیری

به عنوان یک مثال ساده و بسیار پر استفاده، عمل‌گر مشتق‌گیری از توابع مشتق‌پذیر ریاضی را در نظر می‌گیریم:

${\frac {d}{dx}}f(x)=g(x)\!$

در این‌جا عمل‌گر ${\frac {d}{dx}}\!$ بر روی تابع مشتق‌پذیر $f(x)\!$ عمل نموده و تابع $g(x)\!$ را به دست داده‌است.

مقدارهای ویژه مرتبط با آن به همان صورتی که در مورد ماتریس‌ها دیدیم معرفی می‌شوند:

${\frac {d}{dx}}f(x)=\lambda f(x)\!$

در این‌جا به سبب بی‌نهایت بودن بعد فضا، به جای بردار ویژه، عبارت تابع ویژه را داریم. در واقع در جستجوی توابعی هستیم که مشتق مرتبه اول آن‌ها مضربی از خودشان است. با اندکی توجه در می‌یابیم که عمومی‌ترین پاسخ در این‌جا عبارت است از:

$f(x)=e^{i\omega x},\lambda ={i\omega }\!$

چرا که داریم:

${\frac {d}{dx}}e^{i\omega x}={i\omega }e^{i\omega x}\!$

از همین نقطه است که مهم‌ترین و فراگیرترین تبدیل فیزیک ریاضی -تبدیل فوریه- تولد می‌یابد.

جستارهای وابسته

• نظریه طیفی
• تبدیلات فوریه
• آنالیز مودی با استفاده از اف‌ای‌ام
• روش‌های طیفی فوریه
• نظریه طیفی گراف‌ها
• مکانیک کوانتومی

منابع

• Akivis, Max A.; Goldberg, Vladislav V. (1969), Tensor calculus, Russian, Science Publishers, Moscow
• Aldrich, John (2006), "Eigenvalue, eigenfunction, eigenvector, and related terms", in Miller, Jeff (ed.), Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics
• Alexandrov, Pavel S. (1968), Lecture notes in analytical geometry, Russian, Science Publishers, Moscow
• Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (5th ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0
• Axler, Sheldon, Linear Algebra Done Right (3rd ed.), Springer, p. 77, ISBN 978-3-319-30765-7
• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Co., ISBN 0-395-14017-X
• Beezer, Robert A. (2006), A first course in linear algebra, Free online book under GNU licence, University of Puget Sound
• Benn, D.; Evans, D. (2004), A Practical Guide to the study of Glacial Sediments, London: Arnold, pp. 103–107
• Betteridge, Harold T. (1965), The New Cassell's German Dictionary, New York: Funk & Wagnall, LCCN 58-7924
• Bowen, Ray M.; Wang, Chao-Cheng (1980), Linear and multilinear algebra, Plenum Press, New York, ISBN 0-306-37508-7
• Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (1993), Numerical Analysis (5th ed.), Boston: Prindle, Weber and Schmidt, ISBN 0-534-93219-3
• Carter, Tamara A.; Tapia, Richard A.; Papaconstantinou, Anne, Linear Algebra: An Introduction to Linear Algebra for Pre-Calculus Students, Rice University, Online Edition, retrieved 19 February 2008
• Cohen-Tannoudji, Claude (1977), "Chapter II. The mathematical tools of quantum mechanics", Quantum mechanics, John Wiley & Sons, ISBN 0-471-16432-1
• Curtis, Charles W. (1999), Linear Algebra: An Introductory Approach (4th ed.), Springer, ISBN 0-387-90992-3
• Demmel, James W. (1997), Applied numerical linear algebra, SIAM, ISBN 0-89871-389-7
• Denton, Peter B.; Parke, Stephen J.; Tao, Terence; Zhang, Xining (10 August 2019). "Eigenvectors from Eigenvalues: a survey of a basic identity in linear algebra". arXiv:1908.03795 [math.RA].
• Diekmann O, Heesterbeek JA, Metz JA (1990), "On the definition and the computation of the basic reproduction ratio R0 in models for infectious diseases in heterogeneous populations", Journal of Mathematical Biology, 28 (4): 365–382, doi:10.1007/BF00178324, hdl:1874/8051, PMID 2117040, S2CID 22275430
• Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
• Fraleigh, John B.; Beauregard, Raymond A. (1995), Linear algebra (3rd ed.), Addison-Wesley Publishing Company, ISBN 0-201-83999-7
• Francis, J. G. F. (1961), "The QR Transformation, I (part 1)", The Computer Journal, 4 (3): 265–271, doi:10.1093/comjnl/4.3.265and Francis, J. G. F. (1962), "The QR Transformation, II (part 2)", The Computer Journal, 4 (4): 332–345, doi:10.1093/comjnl/4.4.332
• Francis, J. G. F. (1962), "The QR Transformation, II (part 2)", The Computer Journal, 4 (4): 332–345, doi:10.1093/comjnl/4.4.332
• Friedberg, Stephen H.; Insel, Arnold J.; Spence, Lawrence E. (1989), Linear algebra (2nd ed.), Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, ISBN 0-13-537102-3
• Gelfand, I. M. (1971), Lecture notes in linear algebra, Russian, Science Publishers, Moscow
• Gohberg, Israel; Lancaster, Peter; Rodman, Leiba (2005), Indefinite linear algebra and applications, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser Verlag, ISBN 3-7643-7349-0
• Golub, Gene F.; van der Vorst, Henk A. (2000), "Eigenvalue computation in the 20th century" (PDF), Journal of Computational and Applied Mathematics, 123 (1–2): 35–65, Bibcode:2000JCoAM.123...35G, doi:10.1016/S0377-0427(00)00413-1
• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix computations (3rd ed.), Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-5414-9
• Graham, D.; Midgley, N. (2000), "Graphical representation of particle shape using triangular diagrams: an Excel spreadsheet method", Earth Surface Processes and Landforms, 25 (13): 1473–1477, Bibcode:2000ESPL...25.1473G, doi:10.1002/1096-9837(200012)25:13<1473::AID-ESP158>3.0.CO;2-C, S2CID 128825838
• Greub, Werner H. (1975), Linear Algebra (4th ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90110-8
• Halmos, Paul R. (1987), Finite-dimensional vector spaces (8th ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90093-4
• Hawkins, T. (1975), "Cauchy and the spectral theory of matrices", Historia Mathematica, 2: 1–29, doi:10.1016/0315-0860(75)90032-4
• Heesterbeek, J. A. P.; Diekmann, Odo (2000), Mathematical epidemiology of infectious diseases, Wiley series in mathematical and computational biology, West Sussex, England: John Wiley & Sons
• Hefferon, Jim (2001), Linear Algebra, Colchester, VT: Online book, St Michael's College
• Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1-114-54101-6
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles F. (1985), Matrix analysis, Cambridge University Press, ISBN 0-521-30586-1
• Kline, Morris (1972), Mathematical thought from ancient to modern times, Oxford University Press, ISBN 0-19-501496-0
• Knox-Robinson, C.; Gardoll, Stephen J. (1998), "GIS-stereoplot: an interactive stereonet plotting module for ArcView 3.0 geographic information system", Computers & Geosciences, 24 (3): 243, Bibcode:1998CG.....24..243K, doi:10.1016/S0098-3004(97)00122-2
• Korn, Granino A.; Korn, Theresa M. (2000), "Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review", New York: McGraw-Hill (2nd Revised ed.), Bibcode:1968mhse.book.....K, ISBN 0-486-41147-8
• Kublanovskaya, Vera N. (1961), "On some algorithms for the solution of the complete eigenvalue problem", USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 3: 637–657. Also published in: "О некоторых алгорифмах для решения полной проблемы собственных значений" [On certain algorithms for the solution of the complete eigenvalue problem], Журнал вычислительной математики и математической физики (Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics) (به روسی), 1 (4): 555–570, 1961
• Kuttler, Kenneth (2007), An introduction to linear algebra (PDF), Brigham Young University
• Lancaster, P. (1973), Matrix theory, Russian, Moscow: Science Publishers
• Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2003), Elementary linear algebra (5th ed.), Houghton Mifflin Company, ISBN 0-618-33567-6
• Lipschutz, Seymour (1991), Schaum's outline of theory and problems of linear algebra, Schaum's outline series (2nd ed.), New York: McGraw-Hill Companies, ISBN 0-07-038007-4
• Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc (12 August 2002). Schaum's Easy Outline of Linear Algebra. McGraw Hill Professional. p. 111. ISBN 978-0-07-139880-0.
• Meyer, Carl D. (2000), Matrix analysis and applied linear algebra, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8
• Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (2nd ed.), New York: Wiley, LCCN 76091646
• Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (2007), Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), ISBN 978-0-521-88068-8
• Roman, Steven (2008), Advanced linear algebra (3rd ed.), New York: Springer Science + Business Media, ISBN 978-0-387-72828-5
• Sharipov, Ruslan A. (1996), Course of Linear Algebra and Multidimensional Geometry: the textbook, arXiv:math/0405323, Bibcode:2004math......5323S, ISBN 5-7477-0099-5
• Shilov, Georgi E. (1977), Linear algebra, Translated and edited by Richard A. Silverman, New York: Dover Publications, ISBN 0-486-63518-X
• Shores, Thomas S. (2007), Applied linear algebra and matrix analysis, Springer Science+Business Media, ISBN 978-0-387-33194-2
• Sneed, E. D.; Folk, R. L. (1958), "Pebbles in the lower Colorado River, Texas, a study of particle morphogenesis", Journal of Geology, 66 (2): 114–150, Bibcode:1958JG.....66..114S, doi:10.1086/626490, S2CID 129658242
• Strang, Gilbert (1993), Introduction to linear algebra, Wellesley, MA: Wellesley-Cambridge Press, ISBN 0-9614088-5-5
• Strang, Gilbert (2006), Linear algebra and its applications, Belmont, CA: Thomson, Brooks/Cole, ISBN 0-03-010567-6
• Trefethen, Lloyd N.; Bau, David (1997), Numerical Linear Algebra, SIAM
• Van Mieghem, Piet (18 January 2014). "Graph eigenvectors, fundamental weights and centrality metrics for nodes in networks". arXiv:1401.4580 [math.SP].
• Weisstein, Eric W. "Eigenvector". mathworld.wolfram.com. Retrieved 4 August 2019.
• Wolchover, Natalie (13 November 2019). "Neutrinos Lead to Unexpected Discovery in Basic Math". Quanta Magazine. Retrieved 27 November 2019.
• Xirouhakis, A.; Votsis, G.; Delopoulus, A. (2004), Estimation of 3D motion and structure of human faces (PDF), National Technical University of Athens
• (به روسی)Pigolkina, T. S.; Shulman, V. S. (1977). "Eigenvalue". In Vinogradov, I. M. (ed.). Mathematical Encyclopedia. Vol. 5. Moscow: Soviet Encyclopedia.

برای مطالعه بیشتر

• "A Beginner's Guide to Eigenvectors". Deeplearning4j. 2015. Archived from the original on 21 July 2018. Retrieved 18 August 2015.
• Hill, Roger (2009). "λ – Eigenvalues". Sixty Symbols. Brady Haran for the University of Nottingham.

پیوند به بیرون

• What are Eigen Values? – non-technical introduction from PhysLink.com's "Ask the Experts"
• Eigen Values and Eigen Vectors Numerical Examples – Tutorial and Interactive Program from Revoledu.
• Introduction to Eigen Vectors and Eigen Values – lecture from Khan Academy
• Eigenvectors and eigenvalues | Essence of linear algebra, chapter 10 – A visual explanation with 3Blue1Brown
• Matrix Eigenvectors Calculator from Symbolab (Click on the bottom right button of the 2x12 grid to select a matrix size. Select an $n\times n$ size (for a square matrix), then fill out the entries numerically and click on the Go button. It can accept complex numbers as well.)

نظریه

• "Eigen value", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "Eigen vector", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Eigenvalue (of a matrix) at PlanetMath.
• Eigenvector – Wolfram MathWorld
• Eigen Vector Examination working applet
• Same Eigen Vector Examination as above in a Flash demo with sound
• Computation of Eigenvalues
• Numerical solution of eigenvalue problems Edited by Zhaojun Bai, James Demmel, Jack Dongarra, Axel Ruhe, and Henk van der Vorst
• Eigenvalues and Eigenvectors on the Ask Dr. Math forums: [۱], [۲]

اپلت‌ها

• Java applet about eigenvectors in the real plane
• Wolfram Language functionality for Eigenvalues, Eigenvectors and Eigensystems