نظریه اعداد

تجزیه اعداد صحیح به عوامل اول‌شان، نقطه مرکزی مطالعات در نظریه اعداد است که می‌توان آن را به کمک این نوع از مارپیچ اولمان (مارپیچ اعداد اول) به تصویر کشید. نظریه اعداد به دنبال فهم خصوصیات دستگاه اعداد صحیح، با وجود پیچیدگی‌های آشکارش است.

نظریه اعداد (در گذشته به آن حسابان یا حساب پیشرفته می‌گفتند) شاخه‌ای از ریاضیات محض است که خود را عمدتاً وقف مطالعهٔ اعداد صحیح نموده‌است. به گفته کارل گاوس «ریاضیات ملکهٔ علوم است، و نظریهٔ اعداد ملکه ریاضیات.» نظریه اعداد دانان به مطالعه اعداد اول و همچنین خواص اشیائی که از اعداد ساخته می‌شوند می‌پردازند، (به عنوان مثال اعداد گویا) یا تعمیم‌هایی از اعداد تعریف می‌کنند (مثل اعداد صحیح جبری).

اعداد صحیح را می‌توان به خودی یا به عنوان جواب معادلات (در هندسه سیاله‌ای) در نظر گرفت. سوالات حوزهٔ نظریه اعداد اغلب از طریق مطالعه بر روی اشیاء تحلیلی (به عنوان مثال تابع زتای ریمان) بهتر فهمیده می‌شوند. می‌توان اعداد حقیقی را با کمک اعداد گویا مطالعه کرد، به عنوان مثال با تقریب زدن به کمک اعداد گویا (تقریب سیاله‌ای).

اصطلاح قدیمی برای نظریه اعداد، حساب بود. اوایل سده بیستم، عبارت «نظریه اعداد» جایگزین آن شد. (واژه «حساب» نزد عوام به عنوان «محاسبات مقدماتی» پنداشته می‌شود. همچنین این اصطلاح در منطق ریاضیات به معنای حساب پئانو و در علوم رایانه به معنای حساب ممیز شناور می‌باشد) استفاده از اصطلاح حساب برای نظریه اعداد در نیمه دوم سده بیستم رواج پیدا کرد، ادعا می‌شود که ترویج آن تحت تأثیر فرانسوی‌ها بوده‌است. به‌خصوص، اصطلاح حسابی به عنوان یک صفت نسبت به نظریه اعدادی ترجیح داده می‌شود.

تاریخچه

منشأ پیدایش

طلوع حساب

لوح پلیمپتون ۳۲۲

قدیمی‌ترین یافته‌هایی که ماهیت حساب دارند، تکه‌ای از لوح پلیمپتون ۳۲۲ است (لارسا، مزوپتامیا، حدود ۱۸۰۰ پیش از میلاد)، که شامل فهرستی از «سه‌تایی‌های فیثاغورثی» می‌باشد، یعنی اعداد صحیح $(a,b,c)$، چنان‌که $a^{2}+b^{2}=c^{2}$. این سه‌تایی‌ها، بسیار زیاد و بزرگ اند، به گونه ای که تصور یافته شدنشان به روش بروت فورس (یا اثبات با افنا، با روش افنا اشتباه نشود) برای آن دوره سخت است. این لوح چنین عنوانی دارد: «تاکیلتوم قطری، که از عرض کم شده …»

طرح لوح نشان می‌دهد که به این لوح به زبان مدرن به این فرمول اشاره کرده:

$\left({\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right)\right)^{2}+1=\left({\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)\right)^{2},$

که به‌طور ضمنی در تمارین بابلیان باستان آورده شده. اگر از روش دیگری استفاده می‌شد، سه تایی‌ها ابتدا ساخته شده و سپس برحسب $c/a$ مرتب می‌شدند، تا احتمالاً در کاربردهای عملی به عنوان «جدول» مورد استفاده قرار گیرند.

نظریه مقدماتی اعداد

مقالهٔ اصلی: اعداد اول

در نظریه مقدماتی اعداد، اعداد صحیح را بی استفاده از روش‌های به‌کار رفته در سایر شاخه‌های ریاضی بررسی می‌کنند. مسائل بخش پذیری، الگوریتم اقلیدس برای محاسبه بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک (ب.م. م)، تجزیه اعداد به اعداد اول، جستجوی عدد کامل (به انگلیسی: perfect number) و همنهشتی‌ها در این رده هستند. برخی از یافته‌های مهم این رشته قضیه کوچک فرما، قضیه اعداد اول و قضیه اویلر، قضیه باقیمانده چینی و قانون تقابل درجه دوم هستند. خواص توابع ضربی مانند تابع موبیوس و تابع φ اویلر و دنباله اعداد صحیح و فاکتوریل‌ها و اعداد فیبوناچی در همین حوزه قرار دارند.

حل بسیاری از مسائل در نظریه مقدماتی اعداد برخلاف ظاهر ساده آن‌ها نیازمند کوشش بسیار و به‌کار گرفتن روش‌های نوین است. چند نمونه:

• حدس گلدباخ در مورد نمایش اعداد زوج به صورت جمع دو عدد اول،
• حدس کاتالان در مورد توانهای متوالی از اعداد صحیح،
• حدس اعداد اول تؤامان در مورد بی‌نهایت بودن زوج‌های اعداد اول،
• حدس کولاتز در مورد تکرار ساده،
• حدس اعداد اول مرسن در مورد بینهایت بودن اعداد اول مرسن و …

همچنین ثابت شده که نظریه معادلات دیوفانتی تعمیم‌ناپذیر است (به مسئله دهم هیلبرت مراجعه کنید).

نظریه تحلیلی اعداد

در نظریه تحلیلی اعداد از حسابان و آنالیز مختلط برای بررسی سؤالاتی در مورد اعداد صحیح استفاده می‌شود. مثال‌هایی در این مورد قضیه اعداد اول و حدس ریمان هستند. مسئله وارینگ (یعنی نمایش هر عدد صحیح به صورت جمع چند مربع یا مکعب)، حدس اعداد اول تؤامان (یافتن بینهایت عدد اول با اختلاف ۲)، و حدس گلدباخ (نمایش هر عدد زوج به‌صورت مجموع دو عدد اول) نیز با روش‌های تحلیلی مورد حمله قرار گرفته‌اند. اثبات متعالی (ترافرازنده) بودن ثابت‌های ریاضی مانند π و e نیز در بخش نظریه تحلیلی اعداد قرار دارند. اگرچه حکم‌هایی در مورد اعداد ترافرازنده خارج از محدوده مطالعات اعداد صحیح به نظر می‌آید، در واقع مقادیر ممکن برای چندجمله‌ای‌ها با ضریب‌های صحیح مانند e را بررسی می‌کنند. همچنین این‌گونه مسائل با مبحث تقریب دیوفانتین نیز ارتباط نزدیک دارند که موضوع آن این است که چگونه می‌توان یک عدد حقیقی داده شده را با یک عدد گویا تقریب زد؟

نظریه جبری اعداد

در نظریه جبری اعداد، مفهوم عدد به اعداد جبری، که همان ریشه‌های چندجمله‌ای‌هایی با ضریب گویا هستند، گسترش می‌یابد. در این حوزه اعدادی مشابه اعداد صحیح با نام اعداد صحیح جبری وجود دارد. در این عرصه لازم نیست ویژگی‌های آشنای اعداد صحیح (مانند تجزیه یگانه) برقرار باشد. مزیت روش‌های استفاده شده در این رشته (مثل نظریه گالوا، میدان همانستگی (به انگلیسی: field cohomology)، نظریه رده میدان (به انگلیسی: class field theory)، نمایش‌های گروه‌ها و توابع-L) این است که برای این رده از اعداد، نظم را تا حدودی تأمین می‌کند.

نظریه هندسی اعداد

نظریه هندسی اعداد (که قبلاً به آن هندسه اعداد می‌گفتند) جنبه‌هایی از هندسه را به نظریه اعداد پیوند می‌دهد؛ و از قضیه مینکوفسکی در ارتباط با نقاط توری در مجموعه‌های محدب و تحقیق در مورد چپاندن کره‌ها (به انگلیسی: sphere packings) در فضای Rⁿ شروع می‌شود.

نظریه ترکیبیاتی اعداد

نظریه ترکیبیاتی اعداد به مسائلی در نظریه اعداد می‌پردازد که با روش‌های ترکیبیاتی بررسی می‌شوند. پل اردوش بنیان‌گذار اصلی این شاخه از نظریه اعداد بود. الگوریتم‌های سریع برای امتحان اعداد اول و تجزیه اعداد صحیح در رمزنگاری کاربردهای مهمی دارند.

منابع

• Apostol, Tom M. (1976). Introduction to analytic number theory. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 978-0-387-90163-3. Retrieved 2016-02-28.
• Apostol, Tom M. (n.d.). "An Introduction to the Theory of Numbers". (Review of Hardy & Wright.) Mathematical Reviews (MathSciNet). American Mathematical Society. MR 0568909. Retrieved 2016-02-28. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help) (Subscription needed)
• Becker, Oskar (1936). "Die Lehre von Geraden und Ungeraden im neunten Buch der euklidischen Elemente". Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik. Abteilung B:Studien (به آلمانی). 3: 533–53.
• Boyer, Carl Benjamin; Merzbach, Uta C. (1991) [1968]. A History of Mathematics (2nd ed.). New York: Wiley. ISBN 978-0-471-54397-8. 1968 edition at archive.org
• Clark, Walter Eugene (trans.) (1930). The Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa: An ancient Indian work on Mathematics and Astronomy. University of Chicago Press. Retrieved 2016-02-28.
• Colebrooke, Henry Thomas (1817). Algebra, with Arithmetic and Mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara. London: J. Murray. Retrieved 2016-02-28.
• Davenport, Harold; Montgomery, Hugh L. (2000). Multiplicative Number Theory. Graduate texts in mathematics. Vol. 74 (revised 3rd ed.). Springer. ISBN 978-0-387-95097-6.
• Edwards, Harold M. (November 1983). "Euler and Quadratic Reciprocity". Mathematics Magazine. 56 (5): 285–91. doi:10.2307/2690368. JSTOR 2690368.
• Edwards, Harold M. (2000) [1977]. Fermat's Last Theorem: a Genetic Introduction to Algebraic Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 50 (reprint of 1977 ed.). Springer Verlag. ISBN 978-0-387-95002-0.
• Fermat, Pierre de (1679). Varia Opera Mathematica (به فرانسوی و Latin). Toulouse: Joannis Pech. Retrieved 2016-02-28.{{cite book}}: نگهداری یادکرد:زبان ناشناخته (link)
• Friberg, Jöran (August 1981). "Methods and Traditions of Babylonian Mathematics: Plimpton 322, Pythagorean Triples and the Babylonian Triangle Parameter Equations". Historia Mathematica. 8 (3): 277–318. doi:10.1016/0315-0860(81)90069-0.
• von Fritz, Kurt (2004). "The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum". In Christianidis, J. (ed.). Classics in the History of Greek Mathematics. Berlin: Kluwer (Springer). ISBN 978-1-4020-0081-2.
• Gauss, Carl Friedrich; Waterhouse, William C. (trans.) (1966) [1801]. Disquisitiones Arithmeticae. Springer. ISBN 978-0-387-96254-2.
• Goldfeld, Dorian M. (2003). "Elementary Proof of the Prime Number Theorem: a Historical Perspective" (PDF). Retrieved 2016-02-28.
• Goldstein, Catherine; Schappacher, Norbert (2007). "A book in search of a discipline". In Goldstein, C.; Schappacher, N.; Schwermer, Joachim (eds.). The Shaping of Arithmetic after C.F. Gauss's "Disquisitiones Arithmeticae". Berlin & Heidelberg: Springer. pp. 3–66. ISBN 978-3-540-20441-1. Retrieved 2016-02-28.
• Granville, Andrew (2008). "Analytic number theory". In Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (eds.). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11880-2. Retrieved 2016-02-28.
• Porphyry; Guthrie, K.S. (trans.) (1920). Life of Pythagoras. Alpine, New Jersey: Platonist Press.
• Guthrie, Kenneth Sylvan (1987). The Pythagorean Sourcebook and Library. Grand Rapids, Michigan: Phanes Press. ISBN 978-0-933999-51-0.
• Hardy, Godfrey Harold; Wright, E.M. (2008) [1938]. An Introduction to the Theory of Numbers (Sixth ed.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5. MR 2445243.
• Heath, Thomas L. (1921). A History of Greek Mathematics, Volume 1: From Thales to Euclid. Oxford: Clarendon Press. Retrieved 2016-02-28.
• Hopkins, J.F.P. (1990). "Geographical and Navigational Literature". In Young, M.J.L.; Latham, J.D.; Serjeant, R.B. (eds.). Religion, Learning and Science in the 'Abbasid Period. The Cambridge history of Arabic literature. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-32763-3.
• Huffman, Carl A. (8 August 2011). Zalta, Edward N. (ed.). "Pythagoras". Stanford Encyclopaedia of Philosophy (Fall 2011 ed.). Retrieved 7 February 2012.
• Iwaniec, Henryk; Kowalski, Emmanuel (2004). Analytic Number Theory. American Mathematical Society Colloquium Publications. Vol. 53. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3633-0.
• Plato; Jowett, Benjamin (trans.) (1871). Theaetetus.
• Lam, Lay Yong; Ang, Tian Se (2004). Fleeting Footsteps: Tracing the Conception of Arithmetic and Algebra in Ancient China (revised ed.). Singapore: World Scientific. ISBN 978-981-238-696-0. Retrieved 2016-02-28.
• Long, Calvin T. (1972). Elementary Introduction to Number Theory (2nd ed.). Lexington, VA: D.C. Heath and Company. LCCN 77171950.
• Mahoney, M.S. (1994). The Mathematical Career of Pierre de Fermat, 1601–1665 (Reprint, 2nd ed.). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-03666-3. Retrieved 2016-02-28.
• Milne, J.S. (2014). "Algebraic Number Theory". Available at www.jmilne.org/math. {{cite web}}: Missing or empty |url= (help)نگهداری CS1: پیش‌فرض تکرار ref (link)
• Montgomery, Hugh L.; Vaughan, Robert C. (2007). Multiplicative Number Theory: I, Classical Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-84903-6. Retrieved 2016-02-28.
• Morrow, Glenn Raymond (trans. , ed.); Proclus (1992). A Commentary on Book 1 of Euclid's Elements. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02090-7.
• Mumford, David (March 2010). "Mathematics in India: reviewed by David Mumford" (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 57 (3): 387. ISSN 1088-9477.
• Neugebauer, Otto E. (1969). The Exact Sciences in Antiquity (corrected reprint of the 1957 ed.). New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-22332-2. Retrieved 2016-03-02.
• Neugebauer, Otto E.; Sachs, Abraham Joseph; Götze, Albrecht (1945). Mathematical Cuneiform Texts. American Oriental Series. Vol. 29. American Oriental Society etc.
• O'Grady, Patricia (September 2004). "Thales of Miletus". The Internet Encyclopaedia of Philosophy. Retrieved 7 February 2012.
• Pingree, David; Ya'qub, ibn Tariq (1968). "The Fragments of the Works of Ya'qub ibn Tariq". Journal of Near Eastern Studies. 26.
• Pingree, D.; al-Fazari (1970). "The Fragments of the Works of al-Fazari". Journal of Near Eastern Studies. 28.
• Plofker, Kim (2008). Mathematics in India. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12067-6.
• Qian, Baocong, ed. (1963). 緝古算經-Qian-Baocong-錢寶琮 Suanjing shi shu (Ten Mathematical Classics) (به چینی). Beijing: Zhonghua shuju. Retrieved 2016-02-28. {{cite book}}: Check |url= value (help)
• Rashed, Roshdi (1980). "Ibn al-Haytham et le théorème de Wilson". Archive for History of Exact Sciences. 22 (4): 305–21. doi:10.1007/BF00717654.
• Robson, Eleanor (2001). "Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a Reassessment of Plimpton 322" (PDF). Historia Mathematica. 28 (3): 167–206. doi:10.1006/hmat.2001.2317. Archived from the original (PDF) on 2014-10-21.
• Sachau, Eduard; Bīrūni, ̄Muḥammad ibn Aḥmad (1888). Alberuni's India: An Account of the Religion, Philosophy, Literature, Geography, Chronology, Astronomy and Astrology of India, Vol. 1. London: Kegan, Paul, Trench, Trübner & Co. Retrieved 2016-02-28.
• Serre, Jean-Pierre (1996) [1973]. A Course in Arithmetic. Graduate texts in mathematics. Vol. 7. Springer. ISBN 978-0-387-90040-7.
• Smith, D.E. (1958). History of Mathematics, Vol I. New York: Dover Publications.
• Tannery, Paul; Henry, Charles (eds.); Fermat, Pierre de (1891). Oeuvres de Fermat. (4 Vols.) (به فرانسوی و Latin). Paris: Imprimerie Gauthier-Villars et Fils. {{cite book}}: |first2= has generic name (help)نگهداری یادکرد:زبان ناشناخته (link) Volume 1 Volume 2 Volume 3 Volume 4 (1912)
• Iamblichus; Taylor, Thomas (trans.) (1818). Life of Pythagoras or, Pythagoric Life. London: J.M. Watkins. Archived from the original on 2011-07-21. For other editions, see Iamblichus#List of editions and translations
• Truesdell, C.A. (1984). "Leonard Euler, Supreme Geometer". In Hewlett, John (trans.) (ed.). Leonard Euler, Elements of Algebra (reprint of 1840 5th ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-96014-2. This Google books preview of Elements of algebra lacks Truesdell's intro, which is reprinted (slightly abridged) in the following book:
• Truesdell, C.A. (2007). "Leonard Euler, Supreme Geometer". In Dunham, William (ed.). The Genius of Euler: reflections on his life and work. Volume 2 of MAA tercentenary Euler celebration. New York: Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-558-4. Retrieved 2016-02-28.
• Varadarajan, V.S. (2006). Euler Through Time: A New Look at Old Themes. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3580-7. Retrieved 2016-02-28.
• Vardi, Ilan (April 1998). "Archimedes' Cattle Problem" (PDF). American Mathematical Monthly. 105 (4): 305–19. CiteSeerX 10.1.1.383.545. doi:10.2307/2589706. JSTOR 2589706.
• van der Waerden, Bartel L.; Dresden, Arnold (trans) (1961). Science Awakening. Vol. Vol. 1 or Vol 2. New York: Oxford University Press. {{cite book}}: |volume= has extra text (help)
• Weil, André (1984). Number Theory: an Approach Through History – from Hammurapi to Legendre. Boston: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3141-3. Retrieved 2016-02-28.

• This article incorporates material from the Citizendium article "Number theory", which is licensed under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License but not under the GFDL.