قضیه اویلر یا قضیه اولر: فرض کنید m عددی طبیعی و a عددی صحیح باشد و داشته باشیم ۱=(a،m). در این صورت:
که برابر تعداد اعداد کوچکتر از m است که نسبت به آن اول هستند (همان تعداد اعضاء دستگاه مخفف مانده ها)
ابتدا باید دستگاه مخفف مانده ها را معرفی کنیم. فرض کنید m عددی طبیعی و A مجموعهای از اعداد صحیح باشد. A را یک دستگاه مخفف ماندهها به پیمانه m می نامند به شرطی که تمام اعضای A نسبت به m اول باشند و هر عدد صحیح که نسبت به m اول است دقیقاً با یکی از اعضای A به پیمانه m همنهشت باشد.
حال فرض کنید {}دستگاه مخففی از ماندهها به پیمانه m باشد
چون ۱ = (a،m) پس مجموعهٔ
{}
هم دستگاه مخفف ماندهها به پیمانه m است زیرا اگر i و j وجود داشته باشند که
چون ۱ = (a،m) داریم که خلاف فرض است و ضمناً چون ۱=(m ،)و ۱ = (a، m) پس ۱=(m ،) بنابراین {} هم دستگاه مخفف ماندهها به پیمانه m است.
بنابرین هر یک از اعداد دقیقاً با یکی از اعداد همنهشت است پس
یعنی
اما
۱=()
بنابرین ۱=() در نتیجه میتوانیم ها را از دو طرف معادله ساده کنیم پس داریم
یکی از نتایج قضیه اویلر قضیه فرما است.
جستارهای وابسته[ویرایش]
مبانی نظریه اعداد، مریم میرزاخانی، رویا بهشتی زواره، انتشارات فاطمی ۱۳۸۲
ویلیام .ج.لوک مبانی نظریه اعداد، ترجمه مهمد تقی دیبایی انتشارت مبتکران ۱۳۷۲