معادله دیفرانسیلی برنولی

در ریاضیات، یک معادله دیفرانسیل معمولی یک معادله دیفرانسیلی برنولی خوانده می‌شود اگر بتواند به شکل زیر نوشته شود:

$y'+P(x)y=Q(x)y^{n},$

که در آن $n$ یک عدد حقیقی است.بعضی از نویسندگان اجازه می‌دهند که $n$ هر عدد حقیقی ممکن باشد در حالی که بعضی دیگر آن را مشروط می‌کنند که $n$ صفر یا یک نباشد. این معادله در اثری از یاکوب برنولی در سال ۱۶۹۵ مطرح شد و بر این اساس به افتخار برنولی نامیده شده‌است, اما اولین بار توسط گوتفرید لایبنیتس کمی قبلتر در همان سال مطرح و حلی برای آن تعریف شد که تا به امروز از حل وی استفاده می‌شود..

معادلات برنولی از آن جهت خاص هستند که از معدود سامانه‌های غیرخطی محسوب می‌شوند که حلی دقیق برای آن وجود دارد. یک حالت خاص معادلات برنولی که معروفند تابع لجستیک نام دارد.

تبدیل به معادله دیفرانسیل خطی

زمانی که $n=0$ باشد، معادله برنولی به طور خودکار یک معادله دیفرانسیل خطی است. زمانی که $n=1$ باشد، معادله به یک معادله دیفرانسیل تجزیه‌پذیر تبدیل می‌شود. در این موارد، حل مخصوص این معادلات اعمال می‌شود برای دیگر مقادیر n ( $n\neq 0$ و $n\neq 1$), جایگزینی $u=y^{1-n}$ آن را به یک معادله دیفرانسیل خطی تبدیل می‌کند

${\frac {du}{dx}}-(n-1)P(x)u=-(n-1)Q(x).$

به طور مثال برای $n=2$، جایگزینی $u=y^{-1}$ در معادله دیفرانسیل ${\frac {dy}{dx}}+{\frac {1}{x}}y=xy^{2}$ می‌دهد: ${\frac {du}{dx}}-{\frac {1}{x}}u=-x$ که یک معادله دیفرانسیل خطی است.

مثال

به طور مثال معادله زیر را در نظر بگیرید

$y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}$

(یک معادله، معادله ریکاتی نام دارد). تابع ثابت $y=0$ یک حل این معادله است. با تقسیم طرفین بر $y^{2}$ داریم

$y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}$

جایگزینی این متغییرها می‌دهد

${\begin{aligned}u={\frac {1}{y}}\;&,~u'={\frac {-y'}{y^{2}}}\\-u'-{\frac {2}{x}}u&=-x^{2}\\u'+{\frac {2}{x}}u&=x^{2}\end{aligned}}$

که می‌تواند با استفاده از فاکتور انتگرال‌گیری حل شود

$M(x)=e^{2\int {\frac {1}{x}}\,dx}=e^{2\ln x}=x^{2}.$

ضرب طرفین در $M(x)$ می‌دهد

$u'x^{2}+2xu=x^{4}.$

بخش چپ معادله با اعمال عکس قاعده ضرب به شکل یک مشتق $ux^{2}$نوشته خواهد شود. اعمال قاعده زنجیره‌ای و انتگرال گرفتن از $x$ خواهد داد:

${\begin{aligned}\int \left(ux^{2}\right)'dx&=\int x^{4}\,dx\\ux^{2}&={\frac {1}{5}}x^{5}+C\\{\frac {1}{y}}x^{2}&={\frac {1}{5}}x^{5}+C\end{aligned}}$

و حل $y$ خواهد بود:

$y={\frac {x^{2}}{{\frac {1}{5}}x^{5}+C}}.$

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Bernoulli differential equation». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۹ دسامبر ۲۰۲۳.
• Bernoulli, Jacob (1695), "Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis", Acta Eruditorum. Cited in (Hairer، Nørsett و Wanner 1993).
• Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York: اشپربینگر, ISBN 978-3-540-56670-0.

پیوند به بیرون

• فهرست معادلات دیفرانسیل