رونسکین

در ریاضیات، رونسکین، دترمینانی است که به اسم ریاضیدان لهستانی ژوزف هونه رونسکی نام‌گذاری شده است و در معادلات دیفرانسیل و برای تعیین استقلال خطی چند تابع به کار می‌رود.

تعریف

برای $n$ تابع $f_{1}(x),\ f_{2}(x),\cdots ,\ f_{n}(x)$ که دارای مشتق تا مرتبه $n-1$ روی بازهٔ $I$ هستند ، رونسکین (به انگلیسی: Wronskian determinant) آن‌ها با نماد $W[a_{0},\ a_{1},\ a_{2},\cdots ,\ a_{n}]$ را به صورت تابعی از $x\in I$ تعریف می کنیم که برابر با حاصل دترمینان ماتریس زیر است:

$W[f_{1},\ldots ,f_{n}](x)={\begin{vmatrix}f_{1}(x)&f_{2}(x)&\cdots &f_{n}(x)\\f_{1}'(x)&f_{2}'(x)&\cdots &f_{n}'(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}(x)&f_{2}^{(n-1)}(x)&\cdots &f_{n}^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}}$

در صورت ناصفر بودن مقدار رونسکین در بازه $I$، توابع $f_{1}(x),\ f_{2}(x),\cdots ,\ f_{n}(x)$ در آن بازه مستقل خطی هستند.

اشتباه رایج آن است که W = 0 در یک بازه به معنای وابستگی خطی است. در حالی که جوزپه پینو در سال ۱۸۸۹ با اشاره به دو تابع x² و |x|x نشان داد که رونکسین این دو تابع در همه نقاط برابر صفر است اما در هیچ همسایگی ۰ وابسته خطی یکدیگر نیستند.

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Wronskian». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۲ اکتبر ۲۰۱۳.