در ریاضیات ، اعمال سطری مقدماتی ۳ عمل ساده روی یک ماتریس است که در ادامه به آنها می‌پردازیم.
یک ماتریس مقدماتی مثل
E
{\displaystyle E}
E
A
{\displaystyle EA}
A
E
{\displaystyle AE}
A
{\displaystyle A}
ماتریس همانی به دست می‌آید.[ ۱]
اگر با اعمال چند عمل سطری مقدماتی بتوان از یک ماتریس
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
هم‌ارز سطری می‌نامیم و با نماد هم‌ارزی
A
∼
B
{\displaystyle A\sim B}
حذف گاوسی و موارد مشابه کاربرد دارد.[ ۱]
این عمل تمام درایه‌های دو سطر ماتریس را (نظیر به نظیر) با یکدیگر جابه‌جا می‌کند.[ ۱]
R
i
↔
R
j
{\displaystyle R_{i}\leftrightarrow R_{j}}
مثال: با جابه‌جا کردن سطر ۲ و ۳ در ماتریس
A
=
[
1
2
3
4
5
6
7
8
9
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}}
T
2
,
3
A
=
[
1
2
3
7
8
9
4
5
6
]
{\displaystyle T_{2,3}A={\begin{bmatrix}1&2&3\\7&8&9\\4&5&6\end{bmatrix}}}
ماتریس مقدماتی متناظر با این عمل
T
i
,
j
=
[
1
⋱
1
0
1
⋱
1
0
1
⋱
1
]
{\displaystyle T_{i,j}={\begin{bmatrix}1&&&&&&&&\\&\ddots &&&&&&&\\&&1&&&&&\\&&&0&&1&&\\&&&&\ddots &&&\\&&&1&&0&&\\&&&&&&1&&\\&&&&&&&\ddots &\\&&&&&&&&1\end{bmatrix}}}
i
,
j
{\displaystyle i,j}
I
{\displaystyle I}
T
i
,
j
−
1
=
T
i
,
j
{\displaystyle T_{i,j}^{-1}=T_{i,j}}
دترمینان
|
T
i
,
j
|
=
−
1
{\displaystyle |T_{i,j}|=-1}
|
T
i
,
j
A
|
=
|
A
T
i
,
j
|
=
−
|
A
|
{\displaystyle |T_{i,j}A|=|AT_{i,j}|=-|A|}
با این عمل می‌توان درایه‌های یک سطر ماتریس را در یک ثابت اسکالر ناصفر ضرب کرد.[ ۱]
R
i
←
k
R
i
{\displaystyle R_{i}\leftarrow kR_{i}}
مثال: با ضرب ۳ در سطر دوم ماتریس
A
=
[
1
2
3
4
5
6
7
8
9
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}}
D
2
,
3
A
=
[
1
2
3
12
15
18
7
8
9
]
{\displaystyle D_{2,3}A={\begin{bmatrix}1&2&3\\12&15&18\\7&8&9\end{bmatrix}}}
ماتریس مقدماتی متناظر با این عمل
D
i
,
c
=
[
1
⋱
1
c
1
⋱
1
]
{\displaystyle D_{i,c}={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&c&&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}}
c
{\displaystyle c}
i
{\displaystyle i}
I
{\displaystyle I}
D
i
,
c
−
1
=
D
i
,
1
c
{\displaystyle D_{i,c}^{-1}=D_{i,{1 \over c}}}
این ماتریس و وارونش قطری است.
دترمینان
|
D
i
,
c
|
=
c
{\displaystyle |D_{i,c}|=c}
|
D
i
,
c
A
|
=
|
A
D
i
,
c
|
=
c
|
A
|
{\displaystyle |D_{i,c}A|=|AD_{i,c}|=c|A|}
c
{\displaystyle c}
c
{\displaystyle c}
در این عمل مضربی از یک سطر را به یک سطر دیگر اضافه می‌کنیم.[ ۱]
R
i
←
R
i
+
k
R
j
{\displaystyle R_{i}\leftarrow R_{i}+kR_{j}}
مثال: ۲-برابر سطر یکم ماتریس
A
=
[
1
2
3
4
5
6
7
8
9
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}}
L
2
,
1
,
−
2
A
=
[
1
2
3
2
1
0
7
8
9
]
{\displaystyle L_{2,1,-2}A={\begin{bmatrix}1&2&3\\2&1&0\\7&8&9\end{bmatrix}}}
ماتریس مقدماتی متناظر با این عمل
L
i
,
j
,
c
=
[
1
⋱
1
⋱
c
1
⋱
1
]
{\displaystyle L_{i,j,c}={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&\ddots &&&\\&&c&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}}
c
{\displaystyle c}
j
{\displaystyle j}
i
{\displaystyle i}
I
{\displaystyle I}
L
i
,
j
,
c
−
1
=
−
L
i
,
j
,
c
{\displaystyle L_{i,j,c}^{-1}=-L_{i,j,c}}
این ماتریس و وارونش مثلثی هستند.
دترمینان
|
L
i
,
j
,
c
|
=
1
{\displaystyle |L_{i,j,c}|=1}
|
L
i
,
j
,
c
A
|
=
|
A
L
i
,
j
,
c
|
=
|
A
|
{\displaystyle |L_{i,j,c}A|=|AL_{i,j,c}|=|A|}
↑ ۱٫۰ ۱٫۱ ۱٫۲ ۱٫۳ ۱٫۴ Linear Algebra and Its Applications . ج. sixth edition جلد. به کوشش David C. Lay, Steven R. Lay, Judi J. McDonald.
کنت هافمن (۱۳۸۵ )، جبر خطی ، ترجمهٔ جمشید فرشیدی، مرکز نشر دانشگاهی، ص. ۱۱ ، شابک ۹۶۴-۰۱-۰۲۳۰-X
