قضیه فیروزبخت

تابع شکاف اولیه

حدس فیروزبخت نام حدسی است در ریاضی در قسمت نظریه اعداد و توزیع اعداد اول که توسط فریده فیروزبخت استاد دانشگاه اصفهان در سال ۱۹۸۲ مطرح شده است.

حدسیه

حدس بیان می کند که $p_{n}^{1/n}$ یک تابع کاملاً کاهشی از n است، یعنی:

${\sqrt[{n+1}]{p_{n+1}}}<{\sqrt[{n}]{p_{n}}}$ برای هر n≥۱

همچنین:

$p_{n+1}<p_{n}^{1+{\frac {1}{n}}}$ برای هر n≥۱

(مراجعه شود به:  A182134,  A246782)

فریده فیروزبخت با استفاده از جدول شکاف اعداد اول حدس خود را تا ۴٫۴۴۴‎×۱۰^۱۲ تأیید کرد. اکنون با جداول گسترده تر از شکاف اعداد اول، این حدس برای همه اعداد اول زیر 2⁶⁴ ≈ ۷۰۱۹۱۸۴۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰♠۱٫۸۴×۱۰^۱۹ تأیید شده است.

اگر این حدسیه درست باشد آنگاه حدس کرامر نیز درست خواهد بود:

$g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}\qquad {\text{ for all }}n>4.$

علاوه بر این:

$g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}-1\qquad {\text{ for all }}n>9,$

(مراجعه شود به:  A111943)

این یکی از قوی ترین کرانه های بالایی است که برای شکاف های اعداد اول حدس زده شده است، حتی تا حدودی قوی تر از حدس های کرامر و شانکس. این دلالت بر شکلی قوی از حدس کرامر دارد و از این رو با اکتشافات اندرو گرانویل، پینتز و مایر سازگار نیست که نشان می دهد که $g_{n}>{\frac {2-\varepsilon }{e^{\gamma }}}(\log p_{n})^{2}\approx 1.1229(\log p_{n})^{2}$ به طور بی نهایت اغلب برای هر $\varepsilon >0$ رخ می دهد، جایی که $\gamma$ نشان دهنده ثابت اویلر–ماسکرونی است. دو حدس مرتبط دیگر $\left({\frac {\log(p_{n+1})}{\log(p_{n})}}\right)^{n}<e$ و $\left({\frac {p_{n+1}}{p_{n}}}\right)^{n}<n\log(n)\qquad {\text{ for all }}n>5$ هستند، که اولی که ضعیف تر و دومی قوی تر است.

(مراجعه شود به:  A182514)

مطالعه بیشتر

• قضیه اعداد اول
• حدس لژاندر
• حدس کرامر

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Firoozbakht’s conjecture». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.

[1]: Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, page, ۸۵