فضاهای اوریسون و کاملاً هاسدورف

اصول جداسازی در فضاهای توپولوژی
طبقه بندی کولموگوروف
$T_{0}$	(کولموگوروف)
$T_{1}$	(فرشه)
$T_{2}$	(هاسدورف)
$T_{2{\frac {1}{2}}}$	(اوریسون)
کاملاً $T_{2}$	(کاملاً هاسدورف)
$T_{3}$	(هاسدورف منظم)
$T_{3{\frac {1}{2}}}$	(تیخونوف)
$T_{4}$	(هاسدورف نرمال)
$T_{5}$	(کاملاً نرمال/هاسدورف)
$T_{6}$	(نرمال بی‌نقص/هاسدورف)
تاریخچه

در توپولوژی، فضای اوریسون (به انگلیسی: Urysohn Space) یا فضای $T_{2{\frac {1}{2}}}$، فضای توپولوژیکی است که در آن هر دو نقطه را می توان توسط همسایگی های بسته از هم جدا کرد. فضای کاملاً هاسدورف یا فضای هاسدورف تابعی، فضایی توپولوژیکی است که در آن هر دو نقطه مجزا را بتوان توسط یک تابع پیوسته ای از هم جدا کرد. این شرط، از اصول موضوعه معروف تر هاسدورف $T_{2}$ قوی تر است.

تعاریف

فرض کنید $X$ یک فضای توپولوژی باشد و $x,y$ نقاطی از $X$.

• می گوییم $x$ و $y$ را می توان توسط همسایگی های بسته جداسازی کرد اگر همسایگی بسته $U$ از $x$ و همسایگی بسته $V$ از $Y$ چنان موجود باشند که $U$ و $V$ مجزا باشند (یعنی $U\cap V=\emptyset$). (منظور از "همسایگی بسته از $x$" در اینجا، مجموعه ای بسته شامل مجموعه ای باز است که آن مجموعه باز شامل $x$ است)
• می گوییم $x$ و $y$ را می توان توسط یک تابع جداسازی شده اند اگر تابع پیوسته $f\colon X\rightarrow \left[0,1\right]$ وجود داشته باشد چنان که $f(x)=0$ و $f(y)=1$.

فضای اوریسون که به آن فضای $T_{2{\frac {1}{2}}}$ یا فضای $T_{e}$ نیز گفته می شود، فضایی است که در آن هر دو نقطه متمایز را بتوان به کمک همسایگی های بسته از هم جداسازی کرد.

فضای کاملاً هاسدورف یا فضای هاسدورف تابعی، تابعی است که در آن هر دو نقطه متمایز را بتوان توسط تابع پیوسته ای از هم جداسازی کرد.

منابع

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446
• Stephen Willard, General Topology, Addison-Wesley, 1970. Reprinted by Dover Publications, New York, 2004. ISBN 0-486-43479-6 (Dover edition).
• Willard, Stephen (2004) [1970]. General Topology. Dover Books on Mathematics (First ed.). Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240.
• Completely Hausdorff at PlanetMath.

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Urysohn and completely Hausdorff spaces». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.