فرایند کوشی

در نظریه احتمال فرایند کوشی یک نوع فرایند تصادفی است. فرایند کوشی انواع متقارن و نامتقارن دارد.^[۱] عبارت «فرایند کوشی» به صورت مشخص نشده برای اشاره به فرایند کوشی متقارن استفاده می‌شود.^[۲]

فرایند کوشی دارای ویژگی‌های زیر است:

یک فرایند لوی است^[۳]^[۴]^[۵]
یک فرایند پایدار^[۱] است.
یک فرایند پرش خالص است فرایند لوی
گشتاور‌های آن بی‌نهایت است.

فرایند کوشی متقارن

فرایند کوشی متقارن را می‌توان با یک حرکت براونی یا فرایند وینر مرتبط با پیرو (subordinator) لوی توصیف کرد. پیرو (subordinator) لوی یک فرایند در ارتباط با توزیع لوی با داشتن پارامتر مکان $0$ و یک پارامتر مقیاس $t^{2}/2$ .^[۶] توزیع لوی یک حالت خاص از معکوس توزیع گاما است؛ بنابراین با استفاده از $C$ به نمایندگی از فرایند کوشی و $L$ به نمایندگی از پیرو (subordinator) لوی فرایند کوشی متقارن را می‌توان به صورت زیر توضیح داد:

C(t;0,1)\;:=\;W(L(t;0,t^{2}/2)).

توزیع لوی، احتمال اولین ضربه برای یک حرکت براونی است، و در نتیجه فرایند کوشی اساساً نتیجه مستقل دو فرایند حرکت براونی است^[۶]

نمایش لوی–خینشین برای فرایند کوشی متقارن، یک سه‌گانه با رانش صفر و انتشار صفر یک لوی–خینشین سه‌گانه از $(0,0,W)$ که در آن $W(dx)=dx/(\pi x^{2})$ .^[۷]

حاشیه تابع مشخصه فرایند کوشی متقارن به صورت زیر است:^[۱]^[۷]

\operatorname {E} {\Big [}e^{i\theta X_{t}}{\Big ]}=e^{-t|\theta |}.

توزیع احتمال حاشیه‌ای فرایند کوشی متقارن، تابع توزیع توزیع کوشی است^[۷]^[۸]

f(x;t)={1 \over \pi }\left[{t \over x^{2}+t^{2}}\right].

فرایوند کوشی نامتقارن

فرایند کوشی نامتقارن در شرایط استفاده از یک پارامتر $\beta$ تعریف شده. در اینجا $\beta$ چولگی است و قدر مطلق آن باید کمتر یا برابر با ۱ یاشد.^[۱] در حالتی که در آن $|\beta |=1$ است فرایند کوشی کاملاً نامتقارن در نظر گرفته می‌شود.^[۱]

سه‌گانه لوی–Khintchine به صورت (0,0,W) است $(0,0,W)$ که در آن $W(dx)={\begin{cases}Ax^{-2}\,dx&{\text{if }}x>0\\Bx^{-2}\,dx&{\text{if }}x<0\end{cases}}$ که در آن $A\neq B$ ، $A>0$ و $B>0$ .^[۱]

با توجه به این، $\beta$ یک تابع از $A$ و $B$ است.

تابع مشخصه نامتقارن توزیع کوشی به صورت زیر است:^[۱]

\operatorname {E} {\Big [}e^{i\theta X_{t}}{\Big ]}=e^{-t(|\theta |+i\beta \theta \ln |\theta |/(2\pi ))}.

توزیع حاشیه‌ای توزیع نامتقارن فرایند کوشی توزیع پایدار با شاخص پایداری برابر با ۱ است.

منابع

↑ ^۱٫۰ ^۱٫۱ ^۱٫۲ ^۱٫۳ ^۱٫۴ ^۱٫۵ ^۱٫۶ Kovalenko, I.N.; et al. (1996). Models of Random Processes: A Handbook for Mathematicians and Engineers. CRC Press. pp. 210–211. ISBN 978-0-8493-2870-1.
↑ Engelbert, H.J. , Kurenok, V.P. & Zalinescu, A. (2006). "On Existence and Uniqueness of Reflected Solutions of Stochastic Equations Driven by Symmetric Stable Processes". In Kabanov, Y. (ed.). From Stochastic Calculus to Mathematical Finance: The Shiryaev Festschrift. Springer. p. 228. ISBN 978-3-540-30788-4.{{cite book}}: نگهداری یادکرد:نام‌های متعدد:فهرست نویسندگان (link)
↑ Winkel, M. "Introduction to Levy processes" (PDF). pp. 15–16. Retrieved 2013-02-07.
↑ Jacob, N. (2005). Pseudo Differential Operators & Markov Processes: Markov Processes And Applications, Volume 3. Imperial College Press. p. 135. ISBN 978-1-86094-568-7.
↑ Bertoin, J. (2001). "Some elements on Lévy processes". In Shanbhag, D.N. (ed.). Stochastic Processes: Theory and Methods. Gulf Professional Publishing. p. 122. ISBN 978-0-444-50014-4.
↑ ^۶٫۰ ^۶٫۱ Applebaum, D. "Lectures on Lévy processes and Stochastic calculus, Braunschweig; Lecture 2: Lévy processes" (PDF). University of Sheffield. pp. 37–53.
↑ ^۷٫۰ ^۷٫۱ ^۷٫۲ Cinlar, E. (2011). Probability and Stochastics. Springer. p. 332. ISBN 978-0-387-87859-1.
↑ Itô, K. (2006). Essentials of Stochastic Processes. American Mathematical Society. p. 54. ISBN 978-0-8218-3898-3.

[models-1] ۱٫۰ ^۱٫۱ ^۱٫۲ ^۱٫۳ ^۱٫۴ ^۱٫۵ ^۱٫۶ Kovalenko, I.N.; et al. (1996). Models of Random Processes: A Handbook for Mathematicians and Engineers. CRC Press. pp. 210–211. ISBN 978-0-8493-2870-1.

[stable-2] Engelbert, H.J. , Kurenok, V.P. & Zalinescu, A. (2006). "On Existence and Uniqueness of Reflected Solutions of Stochastic Equations Driven by Symmetric Stable Processes". In Kabanov, Y. (ed.). From Stochastic Calculus to Mathematical Finance: The Shiryaev Festschrift. Springer. p. 228. ISBN 978-3-540-30788-4.{{cite book}}: نگهداری یادکرد:نام‌های متعدد:فهرست نویسندگان (link)

[Winkel-3] Winkel, M. "Introduction to Levy processes" (PDF). pp. 15–16. Retrieved 2013-02-07.

[4] Jacob, N. (2005). Pseudo Differential Operators & Markov Processes: Markov Processes And Applications, Volume 3. Imperial College Press. p. 135. ISBN 978-1-86094-568-7.

[5] Bertoin, J. (2001). "Some elements on Lévy processes". In Shanbhag, D.N. (ed.). Stochastic Processes: Theory and Methods. Gulf Professional Publishing. p. 122. ISBN 978-0-444-50014-4.

[applebaum-6] ۶٫۰ ^۶٫۱ Applebaum, D. "Lectures on Lévy processes and Stochastic calculus, Braunschweig; Lecture 2: Lévy processes" (PDF). University of Sheffield. pp. 37–53.

[cinlar-7] ۷٫۰ ^۷٫۱ ^۷٫۲ Cinlar, E. (2011). Probability and Stochastics. Springer. p. 332. ISBN 978-0-387-87859-1.

[essentials-8] Itô, K. (2006). Essentials of Stochastic Processes. American Mathematical Society. p. 54. ISBN 978-0-8218-3898-3.

[۱]

[۲]

[۳]

[۴]

[۵]

[۶]

[۷]

[۸]

ن ب و فرایندهای تصادفی
فرایند تصادفی	فرایند برنولی فرایند شاخه‌ای فرایند رستوران چینی فرایند گالتون-واتسون متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع یکسان زنجیره مارکوف فرایند مورن ولگشت Loop-erased ولگشت خودپرهیز (قدم زدن بدون قطع کردن خود)
Continuous time	Bessel process Birth–death process فرایند وینر Bridge Excursion Fractional Geometric Meander فرایند کوشی Contact process گام-تصادفی زمان-پیوسته Cox process Diffusion process Empirical process فرایند فلر فرایند فلمینگ-ویوت Gamma process Hunt process Interacting particle systems Itô diffusion فرایند ایتو Jump diffusion Jump process فرایند لوی Local time Markov additive process McKean–Vlasov process فرایند اورنستین-یولنبک فرایند پواسون Compound فرایند پواسون فرایند پواسون تحول شرام و لونر Semimartingale Sigma-martingale Stable process Superprocess Telegraph process Variance gamma process فرایند وینر Wiener sausage
Both	فرایند شاخه‌ای Galves–Löcherbach model فرایند گاوسی مدل پنهان مارکف زنجیره مارکوف مارتینگیل Differences Local مارتینگیل مارتینگیل Random dynamical system Regenerative process نظریه تجدید Stochastic chains with memory of variable length نویز سفید
Fields and other	فرایند دیریکله Gaussian random field Gibbs measure شبکه هاپفیلد مدل آیزینگ Potts model شبکه بولی میدان تصادفی مارکفی نظریه تراوش فرایند پیتمن-یور فرایند نقطه ای Cox فرایند پواسون میدان تصادفی گراف تصادفی
سری زمانی	واریانس ناهمسانی شرطی اتورگرسیو میانگین متحرک خودهمبسته یکپارچه مدل خودهمبسته مدل خودهمبسته میانگین متحرک واریانس ناهمسانی شرطی اتورگرسیو مدل میانگین متحرک
Financial models	مدل بلک-درمن-توی Black–Karasinski مدل بلک-شولز مدل چن Constant elasticity of variance (CEV) مدل کاکس-اینگرسول-راس Garman–Kohlhagen Heath–Jarrow–Morton (HJM) Heston Ho–Lee Hull–White LIBOR market Rendleman–Bartter SABR volatility مدل واسیچک Wilkie
بیمسنجی	Bühlmann Cramér–Lundberg Risk process Sparre–Anderson
نظریه صفs	Bulk Fluid Generalized queueing network M/G/1 صف M/M/1 M/M/c
Properties	تابع Càdlàg Continuous Continuous paths ارگادیسیتی متغیرهای تصادفی تعویض پذیر Feller-continuous فرآیندهای تصادفی گاوسی-مارکوف خاصیت مارکف Mixing Piecewise deterministic Predictable Progressively measurable Self-similar فرایند مانا Time-reversible
Limit theorems	قضیه حد مرکزی Donsker's theorem Doob's martingale convergence theorems نظریه ارگودیک Fisher–Tippett–Gnedenko theorem Large deviation principle قانون اعداد بزرگ قانون لگاریتم‌های تکراری Maximal ergodic theorem Sanov's theorem
Inequalities	Burkholder–Davis–Gundy Doob's martingale Kunita–Watanabe
Tools	Cameron–Martin formula همگرایی متغیرهای تصادفی Doléans-Dade exponential Doob decomposition theorem Doob–Meyer decomposition theorem Doob's optional stopping theorem Dynkin's formula Feynman–Kac formula Filtration Girsanov theorem Infinitesimal generator Itô integral Itô's lemma Kolmogorov continuity theorem Kolmogorov extension theorem Lévy–Prokhorov metric Malliavin calculus Martingale representation theorem Optional stopping theorem Prokhorov's theorem Quadratic variation Reflection principle Skorokhod integral Skorokhod's representation theorem تابع Càdlàg Snell envelope معادله دیفرانسیل تصادفی Tanaka زمان توقف Stratonovich integral Uniform integrability Usual hypotheses Wiener space Classical Abstract
Disciplines	بیمسنجی اقتصادسنجی نظریه ارگودیک نظریه مقدار حدی قضیه انحرافات بزرگ مالیه ریاضیاتی آمار ریاضی نظریه احتمالات نظریه صف نظریه تجدید Ruin theory آمار حسابان تصادفی سری زمانی یادگیری ماشین
List of topics