حلقه صحیح‌ها

با اعداد صحیح اشتباه نشود.

در ریاضیات، حلقه صحیح‌ها (به انگلیسی: Ring of Integers) از یک میدان عددی چون $K$، حلقه صحیح‌های جبری عضو $K$ اند. یک عنصر صحیح جبری، ریشه‌ای از چندجمله‌ای تکین (چندجمله‌ای تک‌متغیره با ضریب پیشروی ۱) با ضرایب اعداد صحیح است: $x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{0}$. این حلقه را اغلب با نمادهای $O_{K}$ یا ${\mathcal {O}}_{K}$ نشان می‌دهند. از آنجا که هر عدد صحیح به $K$ متعلق بوده و عنصر صحیحی از $K$ است، حلقه $\mathbb {Z}$ نیز همیشه زیرحلقه‌ای از $O_{K}$ است.

حلقه اعداد صحیح $\mathbb {Z}$ ساده‌ترین حلقه ممکن از صحیح‌ها است. در حقیقت $\mathbb {Z} =O_{\mathbb {Q} }$ که در آن $\mathbb {Q}$ میدان اعداد گویا است. و بر همین اساس در نظریه جبری اعداد برخی مواقع به عناصر $\mathbb {Z}$ «صحیح‌های گویا» نیز گفته می‌شود.

ساده‌ترین مثال بعدی، حلقه صحیح‌های گاوسی $\mathbb {Z} \left[i\right]$ است که شامل اعداد مختلطی است که بخش حقیقی و موهومی آن اعداد صحیح می‌باشد. این حلقه، حلقه صحیح‌های میدان عددی $\mathbb {Q} (i)$ از اعداد مختلطی است که بخش‌های موهومی و حقیقی آن عضو اعداد گویا اند. این حلقه نیز همچون صحیح‌های گویا، یک حوزه اقلیدسی است.

حلقه صحیح‌ها از یک میدان عددی، مرتبه ماکسیمال یکتایی از آن میدان است. همچنین این حلقه همیشه حوزه ددکیند است.

ویژگی ها

حلقه اعداد صحیح OK یک ماژول Z است که به طور متناهی تولید شده است. در واقع، این یک ماژول Z آزاد است، و بنابراین دارای یک پایه انتگرال است، که مبنای b1، ...، bn ∈ OK فضای Q-بردار K است، به طوری که هر عنصر x در OK را می توان به صورت منحصر به فرد نشان داد.

با ai ∈ Z.[5] رتبه n OK به عنوان یک ماژول Z آزاد برابر با درجه K بر Q است.

منابع

• Alaca, Saban; Williams, Kenneth S. (2003). Introductory Algebraic Number Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-511-79126-0.
• Cassels, J.W.S. (1986). Local fields. London Mathematical Society Student Texts. Vol. 3. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-31525-5. Zbl 0595.12006.
• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 322. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. Zbl 0956.11021.
• Samuel, Pierre (1972). Algebraic number theory. Hermann/Kershaw.