*-جبر

در ریاضیات، و به طور خاص در جبر مجرد، یک *-جبر (یا جبر پیچشی (به انگلیسی: Involutive Algebra)، که به صورت "جبر ستاره ای"، "استار-الجبرا"، "استار-جبر" و... هم خوانده می شود) یک ساختار ریاضیاتیست که شامل حلقه های پیچشی $R$ و $A$ است که $R$ جابجایی و $A$ دارای ساختار جبر شرکتپذیر بر روی $R$ است. جبرهای پیچشی تعمیم دهنده ایده دستگاه اعداد مجهز به مزدوج گیری است مثل: مزدوج مختلط، ترانهاده مزدوج، عملگرهای خطی روی فضای هیلبرت و الحاق هرمیتی. با این حال، ممکن است که یک جبر هیچ پیچشی نپذیرد (یعنی نتوان بر روی آن هیچ پیچشی تعریف نمود).

تعاریف

*-حلقه

در ریاضیات، یک *-حلقه، حلقه ای است که مجهز به نگاشت $*:A\rightarrow A$ می باشد، که یک پاد-خودریختی و یک پیچش است.

به طور دقیق تر، * باید خواص زیر را برای تمام $x,y\in A$ارضاء نماید:

• $(x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}$
• $(xy)^{*}=y^{*}x^{*}$
• $1^{*}=1$
• $(x^{*})^{*}=x$

به این حلقه حلقه پیچشی هم می گویند. توجه کنید که اصل سوم در اصل اضافی است، چون اصل دوم و چهارم نتیجه می دهند که $1^{*}$ نیز یک همانی ضربی است و همانی ها منحصر به فردند.

عناصری چون x* = x را خود-الحاقی خوانند.

مثال های کهن الگو از یک *-حلقه، میدان اعداد مختلط و اعداد جبری مجهز به مزدوج مختلط به عنوان پیچش اند. می توان فرم سسکوئی-خطی روی هر *-حلقه تعریف کرد.

همچنین، می توان *-نسخه هایی از اشیاء جبری چون ایده‌آل، زیر حلقه با شرط *-ناوردایی: $x\in I\rightarrow x^{*}\in I$ و ... را نیز تعریف کرد.

*-جبر

یک *-جبر چون $A$، یک *-حلقه است، که مجهز به پیچش * بوده چنان که جبر شرکت پذیر روی *-حلقه جابجایی $R$ با پیچش ` باشد، چنان که داشته باشیم:

$(rx)^{*}=r'x^{*}\forall {r}\in R,x\in A$

*-حلقه پایه اغلب اعداد مختلط اند (که * به عنوان مزدوجه مختلط عمل می کند).

از اصول موضوعه ها نتیجه می شود که * روی $A$ در $R$ مزدوج-خطی است، یعنی برای $\lambda ,\mu \in R$ و $x,y\in A$:

$(\lambda x+\mu y)^{*}=\lambda 'x*+\mu 'y*$

یک *-همریختی $f\colon A\rightarrow B$، همریختی جبری است، یعنی با پیچش های $A$ و $B$ سازگار است:

• برای هر $a\in A$ داریم $f(a^{*})=f(a)^{*}$

فلسفه *-عمل

* -عمل روی *-حلقه مشابه عمل مزدوج گیری روی اعداد مختلط است. *-عمل روی *-جبر مشابه الحاق گیری روی جبرهای ماتریسی مختلط است.

نمادگذاری

پیچش * یک عملگر تکی است به صورت های زیر نمایش داده می شوند:

x ↦ x*،

x ↦ x^∗ (TeX: x^*)

اما به صورت "x*" نوشته نمی‌شود؛ مقاله ستاره را برای جزئیات بیشتر ببینید.

پانویس

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «*-Algebra». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.