تابع مزدوج محدب

برای هر تابع f که در آن f:Rⁿ→R یک تابع conjugate که با *f نشان می‌دهیم به صورت زیر تعریف می‌شود: f*(y)=sup(y^Tx-f(x)) به طوریکه x عضو دامنه f می‌باشد. نکته مهم در اینجا این است که تابع مزدوج همواره محدب است حتی اگر تابع f محدب نباشد.

مثال

مثال۱: تابع افاین f(x)=ax+b

f*(y)= supx(yx-ax-b)

تابع فوق زمانی محدود است که ضریب x صفر شود یعنی y-a=۰ در نتیجه y=a. یعنی تابع مزدوج یک تابع افاین یک تابع تک مقداره است: f*(y) = -b .

تنها مقدار دامنه آن y=a است.

مثال۲: تابع لگاریتم منفی: f(x) = -log(x)

f*(y) = supx>0(yx+log(x)) برای بدست آوردن سوپریمم عبارت فوق نسبت به x مشتق می‌گیریم که بدست می‌آید x = -1/y البته به شرط منفی بودن y.

پس اگر y<0 باشد تابع مزدوج تابع لگاریتم منفی برابر است با: f*(y) = -1-log(-y)

جستارهای وابسته

• بهینه‌سازی محدب
• تابع مزدوج
• تابع محدب

منابع

1)Boyd, Stephen and Lieven Vandenberghe. Convex Optimization. ISBN 0-521-83378-7

2)Nef, Walter (1988-01-01). Linear Algebra (in English). Courier Corporation. p. 35. ISBN 978-0-486-65772-1.