آنالیز محدب

یک پولیتوپ محدب 3-بعدی. آنالیز محدب، نه تنها شامل مطالعه زیرمجموعه‌های محدب از فضاهای اقلیدسی است، بلکه به مطالعه توابع محدب روی فضاهای مجرد نیز می پردازد.

آنالیز محدب (به انگلیسی: Convex Analysis)، شاخه ای از ریاضیات است که به مطالعه خواص توابع محدب و مجموعه‌های محدب پرداخته که در مینیمم‌سازی محدب، زیرحوزه‌ای از نظریه بهینه‌سازی، کاربرد دارد.

مجموعه‌های محدب

مقالهٔ اصلی: مجموعه محدب

زیرمجموعه $C\subseteq X$ از یک فضای برداری چون X را محدب نامند اگر در هر کدام از شرایط معادل زیر صدق کند:

1. اگر $0\leq r\leq 1$ حقیقی بوده و $x,y\in C$ آنگاه $rx+(1-r)y\in C.$
2. اگر $0<r<1$ حقیقی بوده و $x,y\in C$ به گونه ای که $x\neq y,$ باشد، آنگاه $rx+(1-r)y\in C.$.
3. برای تمام اعداد حقیقی مثبت $r>0$ و $s>0$ داریم $(r+s)C=rC+sC$.

منابع

• الگو:Bauschke Combettes Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces 2nd ed 2017
• الگو:Boyd Vandenberghe Convex Optimization 2004
• Hiriart-Urruty, J.-B.; Lemaréchal, C. (2001). Fundamentals of convex analysis. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42205-1.
• Kusraev, A.G.; Kutateladze, Semen Samsonovich (1995). Subdifferentials: Theory and Applications. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-94-011-0265-0.
• الگو:Rockafellar Wets Variational Analysis 2009 Springer
• الگو:Rudin Walter Functional Analysis
• Singer, Ivan (1997). Abstract convex analysis. Canadian Mathematical Society series of monographs and advanced texts. New York: John Wiley & Sons, Inc. pp. xxii+491. ISBN 0-471-16015-6. MR 1461544.
• Stoer, J.; Witzgall, C. (1970). Convexity and optimization in finite dimensions. Vol. 1. Berlin: Springer. ISBN 978-0-387-04835-2.
• الگو:Zălinescu Convex Analysis in General Vector Spaces 2002