تابع شمارش اعداد اول

در ریاضیات تابع شمارش اعداد اول تابعی است که برای بیان تعداد اعداد اول به کار می‌رود و آن را با نماد $\pi (x)$ نمایش می‌دهند.

نمودار تعداد اعداد اول کوچک تر ۶۰

تاریخچه

در قرن ۱۸ گاوس و لژاندر توانستند تقریب دقیق $x/\operatorname {ln} (x)\!$ را برای تعداد اعداد اول به دست آورند که بعدها این تقریب به نظریه اعداد اول مشهور شد و بر اساس آن ثابت شد که:

$\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\operatorname {ln} (x)}}=1.\!$

با تعریف تابع انتگرال لگاریتم که آن را با نماد $li(x)$ نمایش می دهند و به صورت زیر تعریف می شود:

${\rm {li}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.\;$

ثابت شد که:

$\lim _{x\rightarrow \infty }\pi (x)/\operatorname {li} (x)=1\!$

بررسی تابع

$x$	$\pi (x)$	${\frac {\pi (x)}{x/ln(x)}}$
۱۰	۴	۰٫۹۲۱
۱۰۲	۲۵	۱٫۱۵۱
۱۰۳	۱۶۸	۱٫۱۶۱
۱۰۴	۱٬۲۲۹	۱٫۱۳۲
۱۰۵	۹٬۵۹۲	۱٫۱۰۴
۱۰۶	۷۸٬۴۹۸	۱٫۰۸۴
۱۰۷	۶۶۴٬۵۷۹	۱٫۰۷۱
۱۰۸	۵٬۷۶۱٬۴۵۵	۱٫۰۶۱
۱۰۹	۵۰٬۸۴۷٬۵۳۴	۱٫۰۵۴
۱۰۱۰	۴۵۵٬۰۵۲٬۵۱۱	۱٫۰۴۸
۱۰۱۱	۴٬۱۱۸٬۰۵۴٬۸۱۳	۱٫۰۴۳
۱۰۱۲	۳۷٬۶۰۷٬۹۱۲٬۰۱۸	۱٫۰۳۹
۱۰۱۳	۳۴۶٬۰۶۵٬۵۳۶٬۸۳۹	۱٫۰۳۴
۱۰۱۴	۳٬۲۰۴٬۹۴۱٬۷۵۰٬۸۰۲	۱٫۰۳۳
۱۰۱۵	۲۹٬۸۴۴٬۵۷۰٬۴۲۲٬۶۶۹	۱٫۰۳۱
۱۰۱۶	۲۷۹٬۲۳۸٬۳۴۱٬۰۳۳٬۹۲۵	۱٫۰۲۹
۱۰۱۷	۲٬۶۲۳٬۵۵۷٬۱۵۷٬۶۵۴٬۲۳۳	۱٫۰۲۷
۱۰۱۸	۲۴٬۷۳۹٬۹۵۴٬۲۸۷٬۷۴۰٬۸۶۰	۱٫۰۲۵
۱۰۱۹	۲۳۴٬۰۵۷٬۶۶۷٬۲۷۶٬۳۴۴٬۶۰۷	۱٫۰۲۴
۱۰۲۰	۲٬۲۲۰٬۸۱۹٬۶۰۲٬۵۶۰٬۹۱۸٬۸۴۰	۱٫۰۲۳
۱۰۲۱	۲۱٬۱۲۷٬۲۶۹٬۴۸۶٬۰۱۸٬۷۳۱٬۹۲۸	۱٫۰۲۲
۱۰۲۲	۲۰۱٬۴۶۷٬۲۸۶٬۶۸۹٬۳۱۵٬۹۰۶٬۲۹۰	۱٫۰۲۱
۱۰۲۳	۱٬۹۲۵٬۳۲۰٬۳۹۱٬۶۰۶٬۸۰۳٬۹۶۸٬۹۲۳	۱٫۰۲۰
۱۰۲۴	۱۸٬۴۳۵٬۵۹۹٬۷۶۷٬۳۴۹٬۲۰۰٬۸۶۷٬۸۶۶	۱٫۰۱۹
۱۰۲۵	۱۷۶٬۸۴۶٬۳۰۹٬۳۹۹٬۱۴۳٬۷۶۹٬۴۱۱٬۶۸۰	۱٫۰۱۸

همانطور که مشاهده می‌شود اعداد به ۱ نزدیک می‌شوند.

محدوده تابع

ریاضیدان فرانسوی پیر دوسارارت ثابت کرد که برای x ≥ ۵۹۹ رابطه زیر برقرار است:

${\frac {x}{\ln x}}\left(1+{\frac {1}{\ln x}}\right)<\pi (x)<{\frac {x}{\ln x}}\left(1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {2.51}{(\ln x)^{2}}}\right).$

همچنین ثابت کرد که برای هر x ≥ ۳۵۵۹۹۱:

${\frac {x}{\ln x+2}}<\pi (x)<{\frac {x}{\ln x-4}}$

بعدها ثابت شد که برای هر ε>۰ وجود دارد عددی طبیعی ماننده s که برای هر x>s رابطه زیر برقرار است:

${\frac {x}{\ln x-(1-\varepsilon )}}<\pi (x)<{\frac {x}{\ln x-(1+\varepsilon )}}.$

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Prime-counting_function». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.