تابع انتگرال لگاریتم

در ریاضیات، تابع انتگرال لگاریتم یا انتگرال لگاریتم نام یکی از توابع ویژه است. با توجه به قضیه سیگل-والفیزز این تابع تقریب بسیار خوبی به عنوان تعداد اعداد اول کمتر مساوی با یک مقداد معین میزند که کاربرد بسیاری را در فیزیک و نظریه اعداد اول ایفا می کند.

نمودار تابع انتگرال لگاریتم

تعریف

تابع انتگرال لگاریتم را با نماد ${\rm {li}}(x)\;$ نمایش می دهند و به صورت زیر تعریف می‌شود:

${\rm {li}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.\;$

نمایش تابع به صورت سری

تابع انتگرال لگاریتم را می توان به صورت چندین سری مختلف نمایش داد. برای مثال:

${\rm {li}}(x)=\gamma +\ln \ln x+{\sqrt {x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(\ln x)^{n}}{n!\,2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}.$

که در اینجا γ ثابت اویلر نام دارد و حدوداً برابر است با γ ≈ 0.57721 56649 01532

هم ارزی های تابع

برای این تابع هم ارزی های مختلفی وجود دارد؛ از جمله:

${\rm {li}}(x)=O\left({x \over \ln x}\right)\;$

${\rm {li}}(x)\sim {\frac {x}{\ln x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\ln x)^{k}}}$

${\frac {{\rm {li}}(x)}{x/\ln x}}\sim 1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {2}{(\ln x)^{2}}}+{\frac {6}{(\ln x)^{3}}}+\cdots$

تابع آفست انتگرال لگاریتم و کاربرد آن

تابع آفست انتگرال لگاریتم را با نماد ${\rm {Li}}(x)$ نمایش می‌دهند و به صورت زیر تعریف می‌شود:

${\rm {Li}}(x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}\,={\rm {li}}(x)-{\rm {li}}(2)\,$

این تابع در ریاضیات گسسته و نظریه اعداد اول کاربرد قابل توجهی را دارا می‌باشد؛ مثلاً ثابت شده است که:

$\pi (x)\sim \operatorname {Li} (x)$

که در آن $\pi (x)$ تابع شمارش اعداد اول است.

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Logarithmic integral function». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.