اعداد اول فیبوناتچی

اعداد اول فیبوناچی به آن گروه از اعداد فیبوناچی گویند که خود عدد اول هم باشند و آن را با $F_{P}$ نمایش می دهند.

دنباله اعداد اول فیبوناچی

$3,5,13,17,23,29,43,47,83,131,137,359,431,433,449,509,569,571,2971,4723$

یکی از مسایل حل نشده ریاضیات این است که آیا تعداد اعداد اول فیبوناچی بی نهایت است یا نه؟

روابط اعداد اول فیبوناچی

می دانیم که جمله عمومی اعداد فیبوناتچی به شکل زیر است:

$F\left(n\right)={{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}} \over {\sqrt {5}}}={{\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}} \over {\sqrt {5}}}\,,$

همچنین هم ارزی زیر برای جمله عمومی اعداد اول صادق است.

$P(n)\sim \ n\ln(n)$

و می دانیم که جمله عمومی اعداد اول فیبوناتچی از اشتراک جمله عمومی اعداد اول و اعداد فیبوناتچی به دست می‌آید یعنی:

$F_{P_{n}}=F_{n}\cap P_{n}$

پس برای بدست آوردن جمله عمومی اعداد اول فیبوناتچی باید معادله زیر را حل کرد

$P_{n}=F_{n}$

که از آن نتیجه می‌شود.

$n=P^{-1}\left(\,F_{n}\,\right)=\pi (F_{n})$

پس جواب معادله ما که همان جمله عمومی اعداد اول فیبوناتچی است برابر با $\pi (F_{n})$ است یعنی:

$F_{P_{n}}=\pi (F_{n})$

می دانیم:$\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}.\!$

پس اگر قرار باشد تعداد اعداد اول فیبوناتچی بی‌نهایت باشد آنگاه:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{P_{n}}}{\frac {F_{n}}{ln(F_{n})}}}=1$

و می دانیم: $F_{n}={{\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}} \over {\sqrt {5}}}\$

پس

$\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{P_{n}}}{\frac {{\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}} \over {\sqrt {5}}}{ln({{\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}} \over {\sqrt {5}}})}}}=1$

پس:

${F_{P_{n}}}\sim \ {\frac {{\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}} \over {\sqrt {5}}}{ln({{\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}} \over {\sqrt {5}}})}}$

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Fibonacci prime». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.

«اعداد فیبوناتچی بدست می‌آیند از یک تقسیم طولانی» عباس روح الامینی، مجله علمی اسپکتروم انگلستان، آگوست ۲۰۰۸