۱/۲ + ۱/۴ + ۱/۸ + ۱/۱۶ + ⋯

در ریاضیات، سری نامتناهی ۱/۲ + ۱/۴ + ۱/۸ + ۱/۱۶ + ⋯، یک مثال ابتدایی از سری‌های هندسی است که مطلقاً همگرا هستند. مجموع این سری به صورت زیر می‌باشد:

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}={\frac {\frac {1}{2}}{1-{\frac {1}{2}}}}=1$

اثبات مستقیم

به عنوان یک سری نامتناهی، مجموع سری ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots$ به صورت حدی از مجموع ${\mathit {n}}$ جملهٔ اول خواهد بود:

$s_{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}$

به شرطی که ${\mathit {n}}$ به بی‌نهایت میل کند. با ضرب $s_{n}$ در ۲ خواهیم داشت:

$2s_{n}={\frac {2}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {2}{8}}+{\frac {2}{16}}+\cdots +{\frac {2}{2^{n}}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}=1+s_{n}-{\frac {1}{2^{n}}}$