پیش‌نویس:سیستم خودگردان (ریاضیات)

نمودار پایداری طبقه‌بندی نگاشت پوانکاره از سیستم خودگردان خطی $x'=Ax,$ با توجه به ویژگی‌های آنها پایدار یا ناپایدار است. پایداری به‌طور کلی در سمت چپ نمودار افزایش می‌یابد. بعضی از چاه‌ها، چشمه‌ها یا گره‌ها نقاط تعادل هستند.

مورد ۲ بعدی به صفحه فاز اشاره دارد.

در ریاضیات، یک سیستم خودگردان یا معادله دیفرانسیل خودگردان، سیستمی از معادلات دیفرانسیل معمولی است که صریحاً به متغیر مستقل بستگی ندارد. هنگامی که متغیر زمان است، به آنها سیستم‌های تغییرناپذیر با زمان نیز گفته می‌شود.

بسیاری از قوانین در فیزیک، که متغیر مستقل معمولاً به عنوان زمان فرض می‌شود، به عنوان سیستم‌های خودگردان بیان می‌شوند زیرا فرض بر این است که قوانین طبیعت که اکنون وجود دارد با هر نقطه از گذشته یا آینده یکسان است.

سیستم‌های خودگردان با سیستم‌های دینامیکی ارتباط تنگاتنگی دارند. هر سیستم خودگردانی را می‌توان به یک سیستم دینامیکی تبدیل کرد و با استفاده از فرضیات بسیار ضعیف، یک سیستم دینامیکی می‌تواند به یک سیستم خودگردان تبدیل شود

تعریف

سیستم خودگردان سیستمی از معادلات دیفرانسیل معمولی است به این شکل

${\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))$

که x مقادیر را در فضای اقلیدسی n بُعدی می‌گیرد؛ t اغلب به عنوان زمان تعبیر می‌شود.

از سیستم معادلات دیفرانسیل شکلی متمایز می‌شود

${\frac {d}{dt}}x(t)=g(x(t),t)$

که در آن قانون حاکم بر تکامل سیستم فقط به وضعیت فعلی سیستم بستگی ندارد بلکه به پارامتر t نیز بستگی دارد، که اغلب به عنوان زمان تفسیر می‌شود؛ چنین سیستم‌هایی بنا به تعریف خودگردان نیستند.

خواص

اجازه دهید $x_{1}(t)$ یک جواب منحصر به فرد از مسئله مقدار اولیه برای یک سیستم خودگردان باشد

${\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))\,\mathrm {,} \quad x(0)=x_{0}$ .

سپس $x_{2}(t)=x_{1}(t-t_{0})$ حل می‌کند

${\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))\,\mathrm {,} \quad x(t_{0})=x_{0}$ .

در واقع، نمایان‌گر $s=t-t_{0}$ ما داریم $x_{1}(s)=x_{2}(t)$ و $ds=dt$ ، بدین ترتیب

${\frac {d}{dt}}x_{2}(t)={\frac {d}{dt}}x_{1}(t-t_{0})={\frac {d}{ds}}x_{1}(s)=f(x_{1}(s))=f(x_{2}(t))$ .

برای این شرایط اولیه، این اثبات بدیهی است،

$x_{2}(t_{0})=x_{1}(t_{0}-t_{0})=x_{1}(0)=x_{0}$ .

تحلیل کیفی

سیستم‌های خودگردان را می‌توان با استفاده از فضای فاز به صورت کیفی تحلیل کرد. در حالت یک متغیره، این خط فاز است.

جستارهای وابسته

• سیستم تغییرناپذیر با زمان
• سیستم غیرخودگردان (ریاضیات)