پیش‌نویس:جدول معمولی استاندارد

در آمار ،جدول نرمال واحد که به عنوان جدول Z نیز شناخته می شود، یک جدول ریاضی است که مقادیر تابع توزیع تجمعی یا توزیع نرمال را نشان می دهد. احتمال اینکه یک آمار در زیر، بالاتر یا بین مقادیر توزیع نرمال استاندارد و در نتیجه بر روی هر توزیع نرمال یافت شود، محاسبه می شود. به دلیل عدم امکان چاپ جداول احتمال برای همه توزیع های نرمال، اغلب لازم است که یک نرمال را به یک نرمال استاندارد (همچنین به عنوان z-score شناخته می شود) تبدیل کرده و سپس از جدول نرمال استاندارد برای یافتن احتمالات استفاده کنید.[2]

توزیع نرمال نرمال و استاندارد

توزیع‌های نرمال، توزیع‌های متقارن و زنگوله ای شکل هستند که در توصیف داده‌های دنیای واقعی کاربرد دارند. توزیع نرمال استاندارد که با Z نمایش داده می شود، توزیع نرمال با میانگین 0 و انحراف استاندارد 1 است.

تبدیل

  اگر یک متغیر تصادفی به اسم X از توزیع نرمال که میانگین آن μ و انحراف استاندارد آن σ باشد، امتیاز Z آن را می‌توان با کم کردن μ(میانگین) از X و تقسیم بر σ (انحراف معیار) محاسبه کرد:

$Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}$

اگر ${\textstyle \sum X}$ مجموع نمونه ای با اندازه n ازیک جمعیت است که در آن میانگین μ و انحراف معیار σ است، جمع کل مورد انتظار nμ و خطای استانداردآن برابر با. $\sigma {\sqrt {n}}:$

$Z={\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}$

اگر ${\overline {X}}$ نشان دهنده میانگین نمونه ای با اندازه n باشد که از جمعیتی با میانگین μ و انحراف معیار σ گرفته شده است، خطای استاندارد برابر است با ${\tfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}:$

$Z={\frac {\sum {X}-n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}}$

خواندن جدول Z

قالب بندی / طرح بندی

جداول Z معمولاً به صورت زیر تشکیل می شوند:

• سطرها شامل قسمت صحیح و اولین رقم اعشار Z هستند.
• ستون ها حاوی دومین رقم اعشار Z هستند.
• مقادیر درون جدول، احتمالات مربوط به نوع جدول هستند. این احتمالات محاسبات مساحت زیر منحنی نرمال از نقطه شروع (0 برای تجمعی از میانگین ، بی نهایت منفی برای تجمعی و بی نهایت مثبت برای تجمعی مکمل ) تا Z هستند.

به عنوان مثال: برای یافتن 0.69 ، باید به سطرها نگاه می کنیم تا 0.6 را پیدا کنیم و سپس در ستون ها به دنبال0.09 بگردیم که احتمال آن در جدول میانگین برابر 0.25490 و یا در جدول تجمعی برابر 0.75490 به دست می آید. هم چنین می توان با کم کردن هر کدام از یک دیگری را نیز به دست آورد.

برای تعیین یک مقدار منفی مانند -0.83، ممکن است به یک جدول تجمعی برای مقادیر z منفی که با احتمال 0.20327 مطابقت دارد مراجعه کنید.

اما از آنجایی که منحنی توزیع نرمال دارای متقارن است، احتمالات معمولافقط برای Z های مثبت داده میشوند .استفاده کننده ممکن است مجبور باشد از یک عملیات مکمل بر روی قدر مطلق Z استفاده کند، مانند مثال زیر.

انواع جدول

جداول Z حداقل از سه قرارداد مختلف استفاده می کنند:

تجمعی از میانگین

احتمال می دهد که یک آمار بین 0 (میانگین) و Z باشد. مثال: Prob(0 ≤ Z ≤ 0.69) = 0.2549 .

تجمعی

احتمال کمتر بودن یک آمار از Z را می دهد. این معادل مساحت زیر تابع توزیع نرمال از ∞-تا Z است. مثال: Prob(Z ≤ 0.69) = 0.7549 .

تجمعی مکمل

احتمالی را می دهد که یک آمار بزرگتر از Z باشد. این معادل مساحت زیر تابع توزیع نرمال از Z تا ∞+است.

مثال: Prob(Z ≥ 0.69) را پیدا کنید. از آنجایی که مساحت کل زیر تابع توزیع نرمال برابر را یک است با کم کردن احتمال تجمعی از 1 مقدار احتمال تجمعی مکمل را می توان محاسبه کرد. یعنی Prob(Z ≥ 0.69) = 1 − Prob(Z ≤ 0.69) یا Prob(Z ≥ 0.69) = 1 − 0.7549 = 0.2451 .

نمونه های جدول

تجمعی از منهای بی نهایت تا Z

مقادیر مربوط به ناحیه سایه دار برای Z داده شده است

این جدول احتمالی را نشان می دهد که یک آمار بین منهای بی نهایت و Z باشد.که همان قسمت زرد رنگ عکس بالا است .

$f(z)=\Phi (z)$

مقادیر با استفاده از انتگرال تابع توزیع تجمعی یک توزیع نرمال استاندارد با میانگین صفر و انحراف استاندارد یک محاسبه می‌شوند. این تابع معمولا با حرف بزرگ یونانی Φ (فی)نشان داده می شود.

$\Phi (z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{z}e^{-t^{2}/2}\,dt$

$\Phi$ (z) مربوط به تابع خطا یا erf(z) است.

$\Phi (z)={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)\right]$

توجه داشته باشید که برای z = 1, 2, 3 ، مساحت زیر نمودار برای بازه [−z,z] ) نتایج به ترتیب برابر است با f (z) = 0.6827, 0.9545, 0.9974 ، قانون68-95- 99.7

تجمعی (کمتر از Z)

این جدول احتمال کوچکتر بودن یک آماره از Z را ارائه می دهد، به این معنی که در محدوده بی نهایت منفی و Z قرار می گیرد.

z	−0.00	−0.01	−0.02	−0.03	−0.04	−0.05	−0.06	−0.07	−0.08	−0.09
-4.0	0.00003	0.00003	0.00003	0.00003	0.00003	0.00003	0.00002	0.00002	0.00002	0.00002
-3.9	0.00005	0.00005	0.00004	0.00004	0.00004	0.00004	0.00004	0.00004	0.00003	0.00003
-3.8	0.00007	0.00007	0.00007	0.00006	0.00006	0.00006	0.00006	0.00005	0.00005	0.00005
-3.7	0.00011	0.00010	0.00010	0.00010	0.00009	0.00009	0.00008	0.00008	0.00008	0.00008
-3.6	0.00016	0.00015	0.00015	0.00014	0.00014	0.00013	0.00013	0.00012	0.00012	0.00011
-3.5	0.00023	0.00022	0.00022	0.00021	0.00020	0.00019	0.00019	0.00018	0.00017	0.00017
−3.4	0.00034	0.00032	0.00031	0.00030	0.00029	0.00028	0.00027	0.00026	0.00025	0.00024
−3.3	0.00048	0.00047	0.00045	0.00043	0.00042	0.00040	0.00039	0.00038	0.00036	0.00035
−3.2	0.00069	0.00066	0.00064	0.00062	0.00060	0.00058	0.00056	0.00054	0.00052	0.00050
−3.1	0.00097	0.00094	0.00090	0.00087	0.00084	0.00082	0.00079	0.00076	0.00074	0.00071
−3.0	0.00135	0.00131	0.00126	0.00122	0.00118	0.00114	0.00111	0.00107	0.00104	0.00100
−2.9	0.00187	0.00181	0.00175	0.00169	0.00164	0.00159	0.00154	0.00149	0.00144	0.00139
−2.8	0.00256	0.00248	0.00240	0.00233	0.00226	0.00219	0.00212	0.00205	0.00199	0.00193
−2.7	0.00347	0.00336	0.00326	0.00317	0.00307	0.00298	0.00289	0.00280	0.00272	0.00264
−2.6	0.00466	0.00453	0.00440	0.00427	0.00415	0.00402	0.00391	0.00379	0.00368	0.00357
−2.5	0.00621	0.00604	0.00587	0.00570	0.00554	0.00539	0.00523	0.00508	0.00494	0.00480
−2.4	0.00820	0.00798	0.00776	0.00755	0.00734	0.00714	0.00695	0.00676	0.00657	0.00639
−2.3	0.01072	0.01044	0.01017	0.00990	0.00964	0.00939	0.00914	0.00889	0.00866	0.00842
−2.2	0.01390	0.01355	0.01321	0.01287	0.01255	0.01222	0.01191	0.01160	0.01130	0.01101
−2.1	0.01786	0.01743	0.01700	0.01659	0.01618	0.01578	0.01539	0.01500	0.01463	0.01426
−2.0	0.02275	0.02222	0.02169	0.02118	0.02068	0.02018	0.01970	0.01923	0.01876	0.01831
−1.9	0.02872	0.02807	0.02743	0.02680	0.02619	0.02559	0.02500	0.02442	0.02385	0.02330
−1.8	0.03593	0.03515	0.03438	0.03362	0.03288	0.03216	0.03144	0.03074	0.03005	0.02938
−1.7	0.04457	0.04363	0.04272	0.04182	0.04093	0.04006	0.03920	0.03836	0.03754	0.03673
−1.6	0.05480	0.05370	0.05262	0.05155	0.05050	0.04947	0.04846	0.04746	0.04648	0.04551
−1.5	0.06681	0.06552	0.06426	0.06301	0.06178	0.06057	0.05938	0.05821	0.05705	0.05592
−1.4	0.08076	0.07927	0.07780	0.07636	0.07493	0.07353	0.07215	0.07078	0.06944	0.06811
−1.3	0.09680	0.09510	0.09342	0.09176	0.09012	0.08851	0.08692	0.08534	0.08379	0.08226
−1.2	0.11507	0.11314	0.11123	0.10935	0.10749	0.10565	0.10383	0.10204	0.10027	0.09853
−1.1	0.13567	0.13350	0.13136	0.12924	0.12714	0.12507	0.12302	0.12100	0.11900	0.11702
−1.0	0.15866	0.15625	0.15386	0.15151	0.14917	0.14686	0.14457	0.14231	0.14007	0.13786
−0.9	0.18406	0.18141	0.17879	0.17619	0.17361	0.17106	0.16853	0.16602	0.16354	0.16109
−0.8	0.21186	0.20897	0.20611	0.20327	0.20045	0.19766	0.19489	0.19215	0.18943	0.18673
−0.7	0.24196	0.23885	0.23576	0.23270	0.22965	0.22663	0.22363	0.22065	0.21770	0.21476
−0.6	0.27425	0.27093	0.26763	0.26435	0.26109	0.25785	0.25463	0.25143	0.24825	0.24510
−0.5	0.30854	0.30503	0.30153	0.29806	0.29460	0.29116	0.28774	0.28434	0.28096	0.27760
−0.4	0.34458	0.34090	0.33724	0.33360	0.32997	0.32636	0.32276	0.31918	0.31561	0.31207
−0.3	0.38209	0.37828	0.37448	0.37070	0.36693	0.36317	0.35942	0.35569	0.35197	0.34827
−0.2	0.42074	0.41683	0.41294	0.40905	0.40517	0.40129	0.39743	0.39358	0.38974	0.38591
−0.1	0.46017	0.45620	0.45224	0.44828	0.44433	0.44038	0.43644	0.43251	0.42858	0.42465
−0.0	0.50000	0.49601	0.49202	0.48803	0.48405	0.48006	0.47608	0.47210	0.46812	0.46414
z	−0.00	−0.01	−0.02	−0.03	−0.04	−0.05	−0.06	−0.07	−0.08	−0.09

z	+ 0.00	+ 0.01	+ 0.02	+ 0.03	+ 0.04	+ 0.05	+ 0.06	+ 0.07	+ 0.08	+ 0.09
0.0	0.50000	0.50399	0.50798	0.51197	0.51595	0.51994	0.52392	0.52790	0.53188	0.53586
0.1	0.53983	0.54380	0.54776	0.55172	0.55567	0.55962	0.56360	0.56749	0.57142	0.57535
0.2	0.57926	0.58317	0.58706	0.59095	0.59483	0.59871	0.60257	0.60642	0.61026	0.61409
0.3	0.61791	0.62172	0.62552	0.62930	0.63307	0.63683	0.64058	0.64431	0.64803	0.65173
0.4	0.65542	0.65910	0.66276	0.66640	0.67003	0.67364	0.67724	0.68082	0.68439	0.68793
0.5	0.69146	0.69497	0.69847	0.70194	0.70540	0.70884	0.71226	0.71566	0.71904	0.72240
0.6	0.72575	0.72907	0.73237	0.73565	0.73891	0.74215	0.74537	0.74857	0.75175	0.75490
0.7	0.75804	0.76115	0.76424	0.76730	0.77035	0.77337	0.77637	0.77935	0.78230	0.78524
0.8	0.78814	0.79103	0.79389	0.79673	0.79955	0.80234	0.80511	0.80785	0.81057	0.81327
0.9	0.81594	0.81859	0.82121	0.82381	0.82639	0.82894	0.83147	0.83398	0.83646	0.83891
1.0	0.84134	0.84375	0.84614	0.84849	0.85083	0.85314	0.85543	0.85769	0.85993	0.86214
1.1	0.86433	0.86650	0.86864	0.87076	0.87286	0.87493	0.87698	0.87900	0.88100	0.88298
1.2	0.88493	0.88686	0.88877	0.89065	0.89251	0.89435	0.89617	0.89796	0.89973	0.90147
1.3	0.90320	0.90490	0.90658	0.90824	0.90988	0.91149	0.91308	0.91466	0.91621	0.91774
1.4	0.91924	0.92073	0.92220	0.92364	0.92507	0.92647	0.92785	0.92922	0.93056	0.93189
1.5	0.93319	0.93448	0.93574	0.93699	0.93822	0.93943	0.94062	0.94179	0.94295	0.94408
1.6	0.94520	0.94630	0.94738	0.94845	0.94950	0.95053	0.95154	0.95254	0.95352	0.95449
1.7	0.95543	0.95637	0.95728	0.95818	0.95907	0.95994	0.96080	0.96164	0.96246	0.96327
1.8	0.96407	0.96485	0.96562	0.96638	0.96712	0.96784	0.96856	0.96926	0.96995	0.97062
1.9	0.97128	0.97193	0.97257	0.97320	0.97381	0.97441	0.97500	0.97558	0.97615	0.97670
2.0	0.97725	0.97778	0.97831	0.97882	0.97932	0.97982	0.98030	0.98077	0.98124	0.98169
2.1	0.98214	0.98257	0.98300	0.98341	0.98382	0.98422	0.98461	0.98500	0.98537	0.98574
2.2	0.98610	0.98645	0.98679	0.98713	0.98745	0.98778	0.98809	0.98840	0.98870	0.98899
2.3	0.98928	0.98956	0.98983	0.99010	0.99036	0.99061	0.99086	0.99111	0.99134	0.99158
2.4	0.99180	0.99202	0.99224	0.99245	0.99266	0.99286	0.99305	0.99324	0.99343	0.99361
2.5	0.99379	0.99396	0.99413	0.99430	0.99446	0.99461	0.99477	0.99492	0.99506	0.99520
2.6	0.99534	0.99547	0.99560	0.99573	0.99585	0.99598	0.99609	0.99621	0.99632	0.99643
2.7	0.99653	0.99664	0.99674	0.99683	0.99693	0.99702	0.99711	0.99720	0.99728	0.99736
2.8	0.99744	0.99752	0.99760	0.99767	0.99774	0.99781	0.99788	0.99795	0.99801	0.99807
2.9	0.99813	0.99819	0.99825	0.99831	0.99836	0.99841	0.99846	0.99851	0.99856	0.99861
3.0	0.99865	0.99869	0.99874	0.99878	0.99882	0.99886	0.99889	0.99893	0.99896	0.99900
3.1	0.99903	0.99906	0.99910	0.99913	0.99916	0.99918	0.99921	0.99924	0.99926	0.99929
3.2	0.99931	0.99934	0.99936	0.99938	0.99940	0.99942	0.99944	0.99946	0.99948	0.99950
3.3	0.99952	0.99953	0.99955	0.99957	0.99958	0.99960	0.99961	0.99962	0.99964	0.99965
3.4	0.99966	0.99968	0.99969	0.99970	0.99971	0.99972	0.99973	0.99974	0.99975	0.99976
3.5	0.99977	0.99978	0.99978	0.99979	0.99980	0.99981	0.99981	0.99982	0.99983	0.99983
3.6	0.99984	0.99985	0.99985	0.99986	0.99986	0.99987	0.99987	0.99988	0.99988	0.99989
3.7	0.99989	0.99990	0.99990	0.99990	0.99991	0.99991	0.99992	0.99992	0.99992	0.99992
3.8	0.99993	0.99993	0.99993	0.99994	0.99994	0.99994	0.99994	0.99995	0.99995	0.99995
3.9	0.99995	0.99995	0.99996	0.99996	0.99996	0.99996	0.99996	0.99996	0.99997	0.99997
4.0	0.99997	0.99997	0.99997	0.99997	0.99997	0.99997	0.99998	0.99998	0.99998	0.99998
z	+0.00	+0.01	+0.02	+0.03	+0.04	+0.05	+0.06	+0.07	+0.08	+0.09

تجمعی مکمل

این جدول احتمال بزرگتر بودن آماره از Z را نشان می دهد.

$f(z)=1-\Phi (z)$

z	+0.00	+0.01	+0.02	+0.03	+0.04		+0.05	+0.06	+0.07	+0.08	+0.09
0.0	0.50000	0.49601	0.49202	0.48803	0.48405		0.48006	0.47608	0.47210	0.46812	0.46414
0.1	0.46017	0.45620	0.45224	0.44828	0.44433		0.44038	0.43640	0.43251	0.42858	0.42465
0.2	0.42074	0.41683	0.41294	0.40905	0.40517		0.40129	0.39743	0.39358	0.38974	0.38591
0.3	0.38209	0.37828	0.37448	0.37070	0.36693		0.36317	0.35942	0.35569	0.35197	0.34827
0.4	0.34458	0.34090	0.33724	0.33360	0.32997		0.32636	0.32276	0.31918	0.31561	0.31207
0.5	0.30854	0.30503	0.30153	0.29806	0.29460	0.29116	0.28774	0.28434	0.28096	0.27760
0.6	0.27425	0.27093	0.26763	0.26435	0.26109	0.25785	0.25463	0.25143	0.24825	0.24510
0.7	0.24196	0.23885	0.23576	0.23270	0.22965	0.22663	0.22363	0.22065	0.21770	0.21476
0.8	0.21186	0.20897	0.20611	0.20327	0.20045	0.19766	0.19489	0.19215	0.18943	0.18673
0.9	0.18406	0.18141	0.17879	0.17619	0.17361	0.17106	0.16853	0.16602	0.16354	0.16109
1.0	0.15866	0.15625	0.15386	0.15151	0.14917	0.14686	0.14457	0.14231	0.14007	0.13786
1.1	0.13567	0.13350	0.13136	0.12924	0.12714	0.12507	0.12302	0.12100	0.11900	0.11702
1.2	0.11507	0.11314	0.11123	0.10935	0.10749	0.10565	0.10383	0.10204	0.10027	0.09853
1.3	0.09680	0.09510	0.09342	0.09176	0.09012	0.08851	0.08692	0.08534	0.08379	0.08226
1.4	0.08076	0.07927	0.07780	0.07636	0.07493	0.07353	0.07215	0.07078	0.06944	0.06811
1.5	0.06681	0.06552	0.06426	0.06301	0.06178	0.06057	0.05938	0.05821	0.05705	0.05592
1.6	0.05480	0.05370	0.05262	0.05155	0.05050	0.04947	0.04846	0.04746	0.04648	0.04551
1.7	0.04457	0.04363	0.04272	0.04182	0.04093	0.04006	0.03920	0.03836	0.03754	0.03673
1.8	0.03593	0.03515	0.03438	0.03362	0.03288	0.03216	0.03144	0.03074	0.03005	0.02938
1.9	0.02872	0.02807	0.02743	0.02680	0.02619	0.02559	0.02500	0.02442	0.02385	0.02330
2.0	0.02275	0.02222	0.02169	0.02118	0.02068	0.02018	0.01970	0.01923	0.01876	0.01831
2.1	0.01786	0.01743	0.01700	0.01659	0.01618	0.01578	0.01539	0.01500	0.01463	0.01426
2.2	0.01390	0.01355	0.01321	0.01287	0.01255	0.01222	0.01191	0.01160	0.01130	0.01101
2.3	0.01072	0.01044	0.01017	0.00990	0.00964	0.00939	0.00914	0.00889	0.00866	0.00842
2.4	0.00820	0.00798	0.00776	0.00755	0.00734	0.00714	0.00695	0.00676	0.00657	0.00639
2.5	0.00621	0.00604	0.00587	0.00570	0.00554	0.00539	0.00523	0.00508	0.00494	0.00480
2.6	0.00466	0.00453	0.00440	0.00427	0.00415	0.00402	0.00391	0.00379	0.00368	0.00357
2.7	0.00347	0.00336	0.00326	0.00317	0.00307	0.00298	0.00289	0.00280	0.00272	0.00264
2.8	0.00256	0.00248	0.00240	0.00233	0.00226	0.00219	0.00212	0.00205	0.00199	0.00193
2.9	0.00187	0.00181	0.00175	0.00169	0.00164	0.00159	0.00154	0.00149	0.00144	0.00139
3.0	0.00135	0.00131	0.00126	0.00122	0.00118	0.00114	0.00111	0.00107	0.00104	0.00100
3.1	0.00097	0.00094	0.00090	0.00087	0.00084	0.00082	0.00079	0.00076	0.00074	0.00071
3.2	0.00069	0.00066	0.00064	0.00062	0.00060	0.00058	0.00056	0.00054	0.00052	0.00050
3.3	0.00048	0.00047	0.00045	0.00043	0.00042	0.00040	0.00039	0.00038	0.00036	0.00035
3.4	0.00034	0.00032	0.00031	0.00030	0.00029	0.00028	0.00027	0.00026	0.00025	0.00024
3.5	0.00023	0.00022	0.00022	0.00021	0.00020	0.00019	0.00019	0.00018	0.00017	0.00017
3.6	0.00016	0.00015	0.00015	0.00014	0.00014	0.00013	0.00013	0.00012	0.00012	0.00011
3.7	0.00011	0.00010	0.00010	0.00010	0.00009	0.00009	0.00008	0.00008	0.00008	0.00008
3.8	0.00007	0.00007	0.00007	0.00006	0.00006	0.00006	0.00006	0.00005	0.00005	0.00005
3.9	0.00005	0.00005	0.00004	0.00004	0.00004	0.00004	0.00004	0.00004	0.00003	0.00003
4.0	0.00003	0.00003	0.00003	0.00003	0.00003	0.00003	0.00002	0.00002	0.00002	0.00002

این جدول احتمال بزرگتر بودن یک آمار از Z را برای Z های بزرگ صحیح نشان می دهد.

z	+0	+1	+2	+3	+4		+5	+6	+7	+8	+9
0	5.00000 E −1	1.58655 E −1	2.27501 E −2	1.34990 E −3	3.16712 E −5		2.86652 E −7	9.86588 E −10	1.27981 E −12	6.22096 E −16	1.12859 E −19
10	7.61985 E −24	1.91066 E −28	1.77648 E −33	6.11716 E −39	7.79354 E −45		3.67097 E −51	6.38875 E −58	4.10600 E −65	9.74095 E −73	8.52722 E −81
20	2.75362 E -89	3.27928 E -98	1.43989 E -107	2.33064 E -117	1.39039 E -127		3.05670 E -138	2.47606 E -149	7.38948 E -161	8.12387 E -173	3.28979 E -185
30	4.90671 E -198	2.69525 E -211	5.45208 E -225	4.06119 E -239	1.11390 E -253		1.12491 E -268	4.18262 E -284	5.72557 E -300	2.88543 E -316	5.35312 E -333
40	3.65589 E -350	9.19086 E -368	8.50515 E -386	2.89707 E -404	3.63224 E -423		1.67618 E -442	2.84699 E -462	1.77976 E -482	4.09484 E -503	3.46743 E -524
50	1.08060 E -545	1.23937 E -567	5.23127 E -590	8.12606 E -613	4.64529 E -636		9.77237 E -660	7.56547 E -684	2.15534 E -708	2.25962 E -733	8.71741 E -759
60	1.23757 E -784	6.46517 E -811	1.24283 E -837	8.79146 E -865	2.28836 E -892		2.19180 E -920	7.72476 E -949	1.00178 E -977	4.78041 E -1007	8.39374 E -1037
70	5.42304 E -1067	1.28921 E -1097	1.12771 E -1128	3.62960 E -1160	4.29841 E -1192		1.87302 E -1224	3.00302 E -1257	1.77155 E -1290	3.84530 E -1324	3.07102 E -1358

نمونه هایی از استفاده

نمرات امتحان یک استاد تقریباً دارای میانگین 80 و انحراف معیار 5 است. برای این توزیع فقط یک انباشته از جدول میانگین موجود است.

• احتمال اینکه یک دانش آموز نمره 82 یا کمتر بگیرد چقدر است؟ ${\begin{aligned}P(X\leq 82)&=P\!\!\left(Z\leq {\frac {82-80}{5}}\right)\\&=P(Z\leq 0.40)\\[2pt]&=0.15542+0.5\\[2pt]&=0.65542\end{aligned}}$
• احتمال اینکه یک دانش آموز نمره 90 یا بیشتر بگیرد چقدر است؟ ${\begin{aligned}P(X\geq 90)&=P\!\!\left(Z\geq {\frac {90-80}{5}}\right)\\&=P(Z\geq 2.00)\\[2pt]&=1-P(Z\leq 2.00)\\[2pt]&=1-(0.47725+0.5)\\[2pt]&=0.02275\end{aligned}}$
• احتمال اینکه یک دانش آموز نمره 74 یا کمتر بگیرد چقدر است؟ ${\begin{aligned}P(X\leq 74)&=P\!\!\left(Z\leq {\frac {74-80}{5}}\right)\\&=P(Z\leq -1.20)\end{aligned}}$ از آنجای که جدول شامل اعداد صحیح منفی نمی شود به دست آوردن احتمال شامل یک قدم اضافه تر است : ${\begin{aligned}\qquad \qquad \quad ={}&P(Z\geq 1.20)\\[2pt]={}&1-(0.38493+0.5)\\[2pt]={}&0.11507\end{aligned}}$
• احتمال اینکه دانش آموز بین 74 تا 82 نمره بگیرد چقدر است؟ ${\begin{aligned}P(74\leq X\leq 82)&=P(X\leq 82)-P(X\leq 74)\\[2pt]&=0.65542-0.11507\\[2pt]&=0.54035\end{aligned}}$
• احتمال اینکه میانگین سه نمره 82 یا کمتر باشد چقدر است؟ ${\begin{aligned}P(X\leq 82)&=P\left(Z\leq {\frac {82-80}{5/{\sqrt {3}}}}\right)\\&=P(Z\leq 0.69)\\[2pt]&=0.2549+0.5\\[2pt]&=0.7549\end{aligned}}$

همچنین ببینید

•  تابع توزیع تجمعی
• احتمال

منابع

1. ^"Z Table. History of Z Table. Z Score". Retrieved 21 December 2018.
2. ^ Larson, Ron; Farber, Elizabeth (2004). Elementary Statistics: Picturing the World. 清华大学出版社. p. 214. ISBN 7-302-09723-2.
3. ^ "How to use a Z Table". ztable.io. Retrieved 9 January 2023.
4. ^ 0.5 + each value in Cumulative from mean table
5. ^ 0.5 − each value in Cumulative from mean (0 to Z) table