پیش‌نویس:تابع موج کولن

تابع موج کولن نامنظم G از 0 تا 20 با برهمکنش های دافعه و جذاب در Mathematica 13.1 رسم شده است.

تصویر نمودار پیچیده تابع موج کولن منظم اضافه شد

در ریاضیات ، تابع موج کولن حل معادله موج کولن است که به نام چارلز آگوستین دو کولن نامگذاری شده است. آنها برای توصیف رفتار ذرات باردار در پتانسیل کولن مورد استفاده قرار می گیرند و می توانند بر حسب توابع ابر هندسی متقابل یا توابع ویتاکر استدلال خیالی نوشته شوند.

معادله موج کولن

معادله موج کولن برای یک ذره باردار با جرم $m$ معادله شرودینگر با پتانسیل کولن است

$\left(-\hbar ^{2}{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}+{\frac {Z\hbar c\alpha }{r}}\right)\psi _{\vec {k}}({\vec {r}})={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\psi _{\vec {k}}({\vec {r}})\,,$

جایی که $Z=Z_{1}Z_{2}$ حاصل ضرب بارهای ذره و منبع میدان است (بر حسب واحد بار اولیه ، $Z=-1$ برای اتم هیدروژن) $\alpha$ ثابت ساختار ریز است و $\hbar ^{2}k^{2}/(2m)$ انرژی ذره است. جوابی که تابع موج کولن است را می توان با حل این معادله در مختصات سهموی پیدا کرد.

$\xi =r+{\vec {r}}\cdot {\hat {k}},\quad \zeta =r-{\vec {r}}\cdot {\hat {k}}\qquad ({\hat {k}}={\vec {k}}/k)\,.$

بسته به شرایط مرزی انتخاب شده، راه حل اشکال مختلفی دارد. دو مورد از راه حل ها عبارتند از

$\psi _{\vec {k}}^{(\pm )}({\vec {r}})=\Gamma (1\pm i\eta )e^{-\pi \eta /2}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}M(\mp i\eta ,1,\pm ikr-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}})\,,$

جایی که $M(a,b,z)\equiv {}_{1}\!F_{1}(a;b;z)$ تابع ابر هندسی همرو است، $\eta =Zmc\alpha /(\hbar k)$ و $\Gamma (z)$ تابع گاما است. دو شرط مرزی مورد استفاده در اینجا عبارتند از

$\psi _{\vec {k}}^{(\pm )}({\vec {r}})\rightarrow e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}\qquad ({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}\rightarrow \pm \infty )\,,$

که مطابقت دارند ${\vec {k}}$ حالت مجانبی موج صفحه گرا به ترتیب قبل یا بعد از نزدیک شدن به منبع میدان در مبدا. توابع $\psi _{\vec {k}}^{(\pm )}$ با فرمول به یکدیگر مرتبط هستند

$\psi _{\vec {k}}^{(+)}=\psi _{-{\vec {k}}}^{(-)*}\,.$

گسترش جزئی موج

تابع موج $\psi _{\vec {k}}({\vec {r}})$ را می توان به امواج جزئی گسترش داد (یعنی با توجه به پایه زاویه ای) برای به دست آوردن توابع شعاعی مستقل از زاویه $w_{\ell }(\eta ,\rho )$ . اینجا $\rho =kr$ .

$\psi _{\vec {k}}({\vec {r}})={\frac {4\pi }{r}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }i^{\ell }w_{\ell }(\eta ,\rho )Y_{\ell }^{m}({\hat {r}})Y_{\ell }^{m\ast }({\hat {k}})\,.$

یک جمله منفرد از انبساط را می توان توسط محصول اسکالر با هارمونیک کروی خاص جدا کرد

$\psi _{k\ell m}({\vec {r}})=\int \psi _{\vec {k}}({\vec {r}})Y_{\ell }^{m}({\hat {k}})d{\hat {k}}=R_{k\ell }(r)Y_{\ell }^{m}({\hat {r}}),\qquad R_{k\ell }(r)=4\pi i^{\ell }w_{\ell }(\eta ,\rho )/r.$

معادله تک موج جزئی $w_{\ell }(\eta ,\rho )$ می توان با بازنویسی لاپلاسین در معادله موج کولن در مختصات کروی و طرح معادله بر روی یک هارمونیک کروی خاص به دست آورد. $Y_{\ell }^{m}({\hat {r}})$

${\frac {d^{2}w_{\ell }}{d\rho ^{2}}}+\left(1-{\frac {2\eta }{\rho }}-{\frac {\ell (\ell +1)}{\rho ^{2}}}\right)w_{\ell }=0\,.$

جواب ها را توابع موج کولن (جزئی) یا توابع کولن کروی نیز می نامند. قرار دادن $z=-2i\rho$ معادله موج کولن را به معادله ویتاکر تغییر می دهد، بنابراین توابع موج کولن را می توان بر حسب توابع ویتاکر با آرگومان های خیالی بیان کرد. $M_{-i\eta ,\ell +1/2}(-2i\rho )$ و $W_{-i\eta ,\ell +1/2}(-2i\rho )$ . دومی را می توان بر حسب توابع ابر هندسی متقابل بیان کرد $M$ و $U$ . برای $\ell \in \mathbb {Z}$ ، یکی راه حل های ویژه را تعریف می کند

$H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )=\mp 2i(-2)^{\ell }e^{\pi \eta /2}e^{\pm i\sigma _{\ell }}\rho ^{\ell +1}e^{\pm i\rho }U(\ell +1\pm i\eta ,2\ell +2,\mp 2i\rho )\,,$

جایی که

$\sigma _{\ell }=\arg \Gamma (\ell +1+i\eta )$

تغییر فاز کولن نامیده می شود. یکی توابع واقعی را نیز تعریف می کند

$F_{\ell }(\eta ,\rho )={\frac {1}{2i}}\left(H_{\ell }^{(+)}(\eta ,\rho )-H_{\ell }^{(-)}(\eta ,\rho )\right)\,,$

تابع موج کولن منظم F از 0 تا 20 با فعل و انفعالات دافعه و جذاب در Mathematica 13.1 رسم شده است.

$G_{\ell }(\eta ,\rho )={\frac {1}{2}}\left(H_{\ell }^{(+)}(\eta ,\rho )+H_{\ell }^{(-)}(\eta ,\rho )\right)\,.$

به ویژه یکی دارد

$F_{\ell }(\eta ,\rho )={\frac {2^{\ell }e^{-\pi \eta /2}|\Gamma (\ell +1+i\eta )|}{(2\ell +1)!}}\rho ^{\ell +1}e^{i\rho }M(\ell +1+i\eta ,2\ell +2,-2i\rho )\,.$

رفتار مجانبی توابع کروی کولن $H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )$ ، $F_{\ell }(\eta ,\rho )$ ، و $G_{\ell }(\eta ,\rho )$ در بزرگ $\rho$ است

$H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )\sim e^{\pm i\theta _{\ell }(\rho )}\,,$

$F_{\ell }(\eta ,\rho )\sim \sin \theta _{\ell }(\rho )\,,$

$G_{\ell }(\eta ,\rho )\sim \cos \theta _{\ell }(\rho )\,,$

جایی که

$\theta _{\ell }(\rho )=\rho -\eta \log(2\rho )-{\frac {1}{2}}\ell \pi +\sigma _{\ell }\,.$

راه حل ها $H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )$ مربوط به امواج کروی ورودی و خروجی است. راه حل ها $F_{\ell }(\eta ,\rho )$ و $G_{\ell }(\eta ,\rho )$ واقعی هستند و توابع موج کولن منظم و نامنظم نامیده می شوند. به طور خاص یکی دارای انبساط جزئی موج زیر برای تابع موج است $\psi _{\vec {k}}^{(+)}({\vec {r}})$

$\psi _{\vec {k}}^{(+)}({\vec {r}})={\frac {4\pi }{\rho }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }i^{\ell }e^{i\sigma _{\ell }}F_{\ell }(\eta ,\rho )Y_{\ell }^{m}({\hat {r}})Y_{\ell }^{m\ast }({\hat {k}})\,,$

ویژگی های تابع کولمب

قطعات شعاعی برای یک تکانه زاویه ای معین متعامد هستند. هنگامی که در مقیاس عددی موج ( مقیاس k ) نرمال می شود، توابع موج شعاعی پیوسته را برآورده می کند.

$\int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{k'\ell }(r)r^{2}dr=\delta (k-k')$

سایر نرمال سازی های رایج توابع موج پیوسته در مقیاس عددی موج کاهش یافته است ( $k/2\pi$ مقیاس)،

$\int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{k'\ell }(r)r^{2}dr=2\pi \delta (k-k')\,,$

و در مقیاس انرژی

$\int _{0}^{\infty }R_{E\ell }^{\ast }(r)R_{E'\ell }(r)r^{2}dr=\delta (E-E')\,.$

توابع موج شعاعی تعریف شده در بخش قبل به نرمال سازی می شوند

$\int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{k'\ell }(r)r^{2}dr={\frac {(2\pi )^{3}}{k^{2}}}\delta (k-k')$

در نتیجه عادی سازی

$\int \psi _{\vec {k}}^{\ast }({\vec {r}})\psi _{{\vec {k}}'}({\vec {r}})d^{3}r=(2\pi )^{3}\delta ({\vec {k}}-{\vec {k}}')\,.$

توابع موج کولن پیوسته (یا پراکنده) نیز متعامد به تمام حالات محدود کولن هستند

$\int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{n\ell }(r)r^{2}dr=0$

به دلیل اینکه حالت های ویژه یک عملگر هرمیتین ( هامیلتونی ) با مقادیر ویژه متفاوت است.

بیشتر خواندن

• Bateman, Harry (1953), Higher transcendental functions (PDF), vol. 1, McGraw-Hill, archived from the original (PDF) on 2011-08-11, retrieved 2011-07-30.
• Jaeger, J. C.; Hulme, H. R. (1935), "The Internal Conversion of γ -Rays with the Production of Electrons and Positrons", Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, 148 (865): 708–728, Bibcode:1935RSPSA.148..708J, doi:10.1098/rspa.1935.0043, ISSN 0080-4630, JSTOR 96298
• Slater, Lucy Joan (1960), Confluent hypergeometric functions, Cambridge University Press, MR 0107026.

منابع

Hill, Robert N. (2006), Drake, Gordon (ed.), Handbook of atomic, molecular and optical physics, Springer New York, pp. 153–155, doi:10.1007/978-0-387-26308-3, ISBN 978-0-387-20802-2

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1977), Course of theoretical physics III: Quantum mechanics, Non-relativistic theory (3rd ed.), Pergamon Press, p. 569

Messiah, Albert (1961), Quantum mechanics, North Holland Publ. Co., p. 485

Gaspard, David (2018), "Connection formulas between Coulomb wave functions", J. Math. Phys., 59 (11): 112104, arXiv:1804.10976, doi:10.1063/1.5054368

Messiah, Albert (1961), Quantum mechanics, North Holland Publ. Co., p. 426

Formánek, Jiří (2004), Introduction to quantum theory I (به چکی) (2nd ed.), Prague: Academia, pp. 128–130

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1977), Course of theoretical physics III: Quantum mechanics, Non-relativistic theory (3rd ed.), Pergamon Press, p. 121

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1977), Course of theoretical physics III: Quantum mechanics, Non-relativistic theory (3rd ed.), Pergamon Press, pp. 668–669