نماد بی‌نهایت

∞
∞
نماد بی‌نهایت
در یونی‌کد	U+221E ∞ infinity (اچ‌تی‌ام‌ال: ∞ ∞)
متفاوت با
متفاوت با	U+267E ♾ permanent paper sign (اچ‌تی‌ام‌ال: ♾)

نماد بینهایت ( $\infty$ ، $\infty$ ، یا در یونی‌کد ∞) نمادی در ریاضیات است؛ که مفهوم بی نهایت بازنمایی می‌کند. در هندسهٔ جبری این شکل لمنیسکت (به انگلیسی: Lemniscate) می گویند.

تاریخچه

ریشهٔ این شکل تاریخچه‌ای قدیمی دارد. این شکل در صلیب سنت بونیفیس (به انگلیسی: Saint Boniface) در حالی که به دور صلب لاتین پیچیده شده‌است دیده می‌شود.^[۱] با این‌حال جان والیس در سال ۱۶۵۵ میلادی با مطرح کردن معنای ریاضیاتی آن در کتاب De sectionibus conicis به آن اعتبار بخشید.^[۱]^[۲]^[۳]^[۴]^[۵]والیس دلیل انتخاب این نماد را بیان نکرده‌است ولی حدس زده می‌شود که این شکل صورتی از نمایش عدد ۱۰۰۰ در عددنویسی رومی باشد. (در اصل به صورت CIƆ یا CƆ^[۶] که گاهی از آن به عنوان «زیاد» استفاده می‌شد), یا صورتی از حرف یونانی ω (اومگا)—که آخرین حرف الفبای یونانی است.^[۷]

لئونارد اویلر از نسخهٔ این علامت به صورت منحنی باز استفاده کرده‌است.^[۸] تا «absolutus infinitus» را نمایش دهد. او اعمال گوناگونی؛ مثل لگاریتم گرفتن بر بی‌نهایت اعمال می‌کرد. این نسخه از بی‌نهایت دیگر استفاده نمی‌شود و کاراکتری جدا در یونی‌کد ندارد.

کاربرد

در ریاضیات این علامت بیشتر برای نشان دادن بی‌نهایت بالقوه استفاده می‌شود^[۱] تا یک بی‌نهایت بالفعل و واقعی که به عنوان کمیتی در اعداد حقیقی بسط یافته (به انگلیسی: Extended real number) یا اعداد کاردینال یا اعداد اوردینال استفاده می‌شود.^[۹]؛ مثلاً در ریاضیات عباراتی که در آن‌ها از مجموع‌یابی استفاده می‌شود یا حدها مثل عبارت زیر:

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {2^{x}-1}{2^{x-1}}}=2,

این علامت همچنین می‌تواند برای نشان دادن نقطه‌ای در بینهایت استفاده شود. مخصوصاً وقتی تنها یک نقطهٔ اینچنینی فرض شود. این کاربرد به‌طور خاص شامل نقطهٔ نامحدود بر خط تصویری (به انگلیسی: projective line) می‌شود.^[۱۰]^[۱۱]

منابع

↑ ^۱٫۰ ^۱٫۱ ^۱٫۲ Barrow, John D. (2008). "Infinity: Where God Divides by Zero". Cosmic Imagery: Key Images in the History of Science. W. W. Norton & Company. pp. 339–340. ISBN 978-0-393-06177-2.
↑ Wallis, John (1655). "Pars Prima". De Sectionibus Conicis, Nova Methodo Expositis, Tractatus (به لاتین). pp. 4.
↑ Scott, Joseph Frederick (1981). The mathematical work of John Wallis, D.D. , F.R.S. , (1616-1703) (2nd ed.). American Mathematical Society. p. 24. ISBN 0-8284-0314-7.
↑ Martin-Löf, Per (1990), "Mathematics of infinity", COLOG-88 (Tallinn, 1988), Lecture Notes in Computer Science, vol. 417, Berlin: Springer, pp. 146–197, doi:10.1007/3-540-52335-9_54, MR 1064143
↑ Cajori, Florian (2007). A History of Mathematical Notations. Vol. 1. Cosimo, Inc. p. 214. ISBN 978-1-60206-685-4.
↑ "Infinity Symbol and Roman Numerals". www.romannumerals.org. Retrieved 2019-11-15.
↑ Clegg, Brian (2003). A Brief History of Infinity: The Quest to Think the Unthinkable. Robinson. ISBN 978-1-84119-650-3.
↑ See for instance Cor. 1 p. 174 in: Leonhard Euler. Variae observationes circa series infinitas. Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9, 1744, pp. 160-188. [۱]
↑ "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Infinite". Math Vault (به انگلیسی). 2019-08-01. Retrieved 2019-11-15.
↑ Perrin, Daniel (2007). Algebraic Geometry: An Introduction. Springer. p. 28. ISBN 978-1-84800-056-8.
↑ Weisstein, Eric W. "Point at Infinity". mathworld.wolfram.com (به انگلیسی). Retrieved 2019-11-15.

[barrow-1] ۱٫۰ ^۱٫۱ ^۱٫۲ Barrow, John D. (2008). "Infinity: Where God Divides by Zero". Cosmic Imagery: Key Images in the History of Science. W. W. Norton & Company. pp. 339–340. ISBN 978-0-393-06177-2.

[2] Wallis, John (1655). "Pars Prima". De Sectionibus Conicis, Nova Methodo Expositis, Tractatus (به لاتین). pp. 4.

[3] Scott, Joseph Frederick (1981). The mathematical work of John Wallis, D.D. , F.R.S. , (1616-1703) (2nd ed.). American Mathematical Society. p. 24. ISBN 0-8284-0314-7.

[4] Martin-Löf, Per (1990), "Mathematics of infinity", COLOG-88 (Tallinn, 1988), Lecture Notes in Computer Science, vol. 417, Berlin: Springer, pp. 146–197, doi:10.1007/3-540-52335-9_54, MR 1064143

[5] Cajori, Florian (2007). A History of Mathematical Notations. Vol. 1. Cosimo, Inc. p. 214. ISBN 978-1-60206-685-4.

[6] "Infinity Symbol and Roman Numerals". www.romannumerals.org. Retrieved 2019-11-15.

[7] Clegg, Brian (2003). A Brief History of Infinity: The Quest to Think the Unthinkable. Robinson. ISBN 978-1-84119-650-3.

[8] See for instance Cor. 1 p. 174 in: Leonhard Euler. Variae observationes circa series infinitas. Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9, 1744, pp. 160-188. [۱]

[9] "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Infinite". Math Vault (به انگلیسی). 2019-08-01. Retrieved 2019-11-15.

[10] Perrin, Daniel (2007). Algebraic Geometry: An Introduction. Springer. p. 28. ISBN 978-1-84800-056-8.

[11] Weisstein, Eric W. "Point at Infinity". mathworld.wolfram.com (به انگلیسی). Retrieved 2019-11-15.

[۱]

[۲]

[۳]

[۴]

[۵]

[۶]

[۷]

[۸]

[۹]

[۱۰]

[۱۱]

ن ب و بی‌نهایت ( $\infty$ )
تاریخچه	Controversy over Cantor's theory
شاخه‌های ریاضیات	Internal set theory Nonstandard analysis نظریه مجموعه‌ها Synthetic differential geometry
صوری‌سازی بی‌نهایت	اعداد اصلی اعداد ابرحقیقی Infinity + 1 اعداد ترتیبی Surreal numbers اعداد ترامتناهی بی‌نهایت کوچک‌ها Absolute Infinite
ریاضی‌دانان	گئورگ کانتور گوتفرید لایبنیتس آبراهام رابینسون