نظریه مجموعه‌های ناخوش‌بنیان

نظریات مجموعه ای ناخوش‌بنیان (به انگلیسی: Non-well-founded set theories) انواع مختلفی از نظریه مجموعه‌ها هستند که به مجموعه‌ها اجازه می‌دهد عضو خود باشند، و به بیانی، رابطه خوش‌بنیانی (well-foundedness) را نقض کنند. در نظریه‌های مجموعه ای ناخوش‌بنیان، اصل بنیانِ نظریه مجموعه‌های زرملو-فرانکل با اصولی که نفی آن را نتیجه می‌دهند جایگزین می‌شود.

مطالعه مجموعه‌های ناخوش‌بنیان توسط دیمیتری میریمانف در یک سری مقالاتی بین سالهای ۱۹۱۷ و ۱۹۲۰ آغاز شد، که در آنها او تمایز بین مجموعه‌های خوش‌بنیان و ناخوش‌بنیان را معرفی کرد؛ وی خوش‌بنیانی را به عنوان یک اصل موضوعه در نظر نگرفت. اگرچه بعداً تعدادی سیستم اصل موضوعه ای برای مجموعه‌های ناخوش‌بنیان پیشنهاد شدند، تا هنگام ظهور نظریه ابرمجموعه ی پیتر آکزل در سال ۱۹۸۸، کاربردهای زیادی برای آنها یافت نشد. نظریه مجموعه‌های ناخوش‌بنیان در مدل‌سازی منطقی فرایندهای محاسباتی خاتمه ناپذیر در علوم کامپیوتر (جبر پردازه و معناشناسی نهایی)، زبانشناسی و معانشناسی زبان طبیعی (نظریه وضعیت)، فلسفه (کار بر روی پارادوکس دروغگو) و در چارچوبی متفاوت، آنالیز غیر استاندارد به کار رفته‌است.

جزئیات

در سال ۱۹۱۷، دیمیتری میریمانف مفهوم خوش‌بنیانی یک مجموعه را ارائه داد:

مجموعهٔ x₀ را خوش‌بنیان گویند اگر هیچ دنباله نامتناهی نزولی $\cdots \in x_{2}\in x_{1}\in x_{0}$ از رابطهٔ عضویت نداشته باشد.

در ZFC، به خاطر اصل موضوعه قاعده (axiom of regularity) هیچ ∈-دنباله نزولی نامتناهی ای وجود ندارد. در واقع، اصل قاعده غالباً اصل بنیان (foundation axiom) نامیده می‌شود، چرا که می‌توان ثابت کرد که در ⁻ZFC (یعنی ZFC بدون اصل موضوعه بنیان) خوش‌بنیانی اصل قاعده را نتیجه می‌دهد. در انواع ZFC بدون اصل قاعده، امکان مجموعه‌های ناخوش‌بنیان با ∈-زنجیره‌های مجموعه-مانند بوجود می‌آید. به عنوان مثال، مجموعه A که A ∈ A ناخوش‌بنیان است.

کاربردها

ابرمجموعه‌های آکزل به‌طور گسترده توسط جان اچمندی و جان باروایز در کتابشان دروغگو، مورخ ۱۹۸۷، در مورد پارادوکس دروغگو به کار گرفته شد. این کتاب همچنین مقدمه خوبی برای مبحث مجموعه‌های ناخوش‌بنیان است.

برای اصل ابرجهانی (superuniversality axiom) بوفا (Boffa) کاربردهای در زمینه آنالیز غیر استاندارد اصل موضوعه ای پیدا شده‌است.

جستارهای وابسته

• نظریه مجموعه جایگزین
• مجموعه جهانی
• تا آخر سراسر لاک پشت

منابع

• Aczel, Peter (1988), Non-well-founded sets, CSLI Lecture Notes, vol. 14, Stanford, CA: Stanford University, Center for the Study of Language and Information, pp. xx+137, ISBN 0-937073-22-9, MR 0940014.
• Ballard, David; Hrbáček, Karel (1992), "Standard foundations for nonstandard analysis", Journal of Symbolic Logic, 57 (2): 741–748, doi:10.2307/2275304, JSTOR 2275304.
• Barwise, Jon; Etchemendy, John (1987), The Liar: An Essay on Truth and Circularity, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-505944-1
• Barwise, Jon; Moss, Lawrence S. (1996), Vicious circles. On the mathematics of non-wellfounded phenomena, CSLI Lecture Notes, vol. 60, CSLI Publications, ISBN 1-57586-009-0
• Boffa., M. (1968), "Les ensembles extraordinaires", Bulletin de la Société Mathématique de Belgique, XX: 3–15, Zbl 0179.01602
• Boffa, M. (1972), "Forcing et négation de l'axiome de Fondement", Acad. Roy. Belgique, Mém. Cl. Sci. , Coll. 8∘, II. Sér. 40, XL (7), Zbl 0286.02068
• Devlin, Keith (1993), "§7. Non-Well-Founded Set Theory", The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory (2nd ed.), Springer, ISBN 978-0-387-94094-6
• Finsler, P. (1926), "Über die Grundlagen der Mengenlehre. I: Die Mengen und ihre Axiome", Math. Z., 25: 683–713, doi:10.1007/BF01283862, JFM 52.0192.01; translation in Finsler, Paul; Booth, David (1996). Finsler Set Theory: Platonism and Circularity: Translation of Paul Finsler's Papers on Set Theory with Introductory Comments. Springer. ISBN 978-3-7643-5400-8.
• Hallett, Michael (1986), Cantorian set theory and limitation of size, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853283-5.
• Kanovei, Vladimir; Reeken, Michael (2004), Nonstandard Analysis, Axiomatically, Springer, ISBN 978-3-540-22243-9
• Levy, Azriel (2012) [2002], Basic set theory, Dover Publications, ISBN 978-0-486-15073-4.
• Mirimanoff, D. (1917), "Les antinomies de Russell et de Burali-Forti et le probleme fondamental de la theorie des ensembles", L'Enseignement Mathématique, 19: 37–52, JFM 46.0306.01.
• Nitta; Okada; Tzouvaras (2003), Classification of non-well-founded sets and an application (PDF)
• Pakkan, M. J.; Akman, V. (1994–1995), "Issues in commonsense set theory" (PDF), Artificial Intelligence Review, 8 (4): 279–308, doi:10.1007/BF00849061
• Rathjen, M. (2004), "Predicativity, Circularity, and Anti-Foundation" (PDF), in Link, Godehard (ed.), One Hundred Years of Russell ́s Paradox: Mathematics, Logic, Philosophy, Walter de Gruyter, ISBN 978-3-11-019968-0
• Sangiorgi, Davide (2011), "Origins of bisimulation and coinduction", in Sangiorgi, Davide; Rutten, Jan (eds.), Advanced Topics in Bisimulation and Coinduction, Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-00497-9
• Scott, Dana (1960), "A different kind of model for set theory", Unpublished paper, talk given at the 1960 Stanford Congress of Logic, Methodology and Philosophy of Science

خواندن بیشتر

• Moss, Lawrence S. "Non-wellfounded Set Theory". Stanford Encyclopedia of Philosophy.

پیوند به بیرون

• Metamath page on the axiom of Regularity. Fewer than 1% of that database's theorems are ultimately dependent on this axiom, as can be shown by a command ("show usage") in the Metamath program.