از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
نظریه مجانبی یا نظریه ناهَمساویک شاخه‌ای از ریاضیات است که به بسط مجانبی می‌پردازد.
نمونه‌ای از نتیجه ناهمساویک قضیه اعداد اول است:
فرض کنیم π(x ) تعداد اعداد اولی است که کوچکتر یا برابر با x باشند، آنگاه حد
lim
x
→
∞
π
(
x
)
ln
(
x
)
x
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)\ln(x)}{x}}}
وجود دارد و برابر است با 1.
نظریه مجانبی در شاخه‌های گوناگون علوم ریاضی استفاده می‌شود. در آمار ، نظریه مجانبی تقریب‌های حدی توزیع احتمال از یک نمونه آماری را فراهم می‌کنند، مانند آزمون نسبت درست‌نمایی آماره و امید ریاضی deviance .
[ ویرایش ]
e
x
x
x
2
π
x
Γ
(
x
+
1
)
∼
1
+
1
12
x
+
1
288
x
2
−
139
51840
x
3
−
⋯
(
x
→
∞
)
{\displaystyle {\frac {e^{x}}{x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x+1)\sim 1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\rightarrow \infty )}
x
e
x
E
1
(
x
)
∼
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
n
!
x
n
(
x
→
∞
)
{\displaystyle xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n}}}\ (x\rightarrow \infty )}
ζ
(
s
)
∼
∑
n
=
1
N
−
1
n
−
s
+
N
1
−
s
s
−
1
+
N
−
s
∑
m
=
1
∞
B
2
m
s
2
m
−
1
¯
(
2
m
)
!
N
2
m
−
1
{\displaystyle \zeta (s)\sim \sum _{n=1}^{N-1}n^{-s}+{\frac {N^{1-s}}{s-1}}+N^{-s}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {B_{2m}s^{\overline {2m-1}}}{(2m)!N^{2m-1}}}}
که
B
2
m
{\displaystyle B_{2m}}
عدد برنولی است و
s
2
m
−
1
¯
{\displaystyle s^{\overline {2m-1}}}
rising factorial است.
این گسترش برای همه صفحه‌های مختلط s معتبر است و اغلب برای محاسبه تابع زتا با استفاده از مقادیر بزرگ از N برای نمونه
N
>
|
s
|
{\displaystyle N>|s|}
π
x
e
x
2
e
r
f
c
(
x
)
=
1
+
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
n
!
(
2
x
)
2
n
.
{\displaystyle {\sqrt {\pi }}xe^{x^{2}}{\rm {erfc}}(x)=1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!(2x)^{2n}}}.}
Hardy, G. H. , Divergent Series , Oxford University Press , 1949Paris, R. B. and Kaminsky, D., Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals , Cambridge University Press , 2001
Whittaker, E. T. and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis , fourth edition, Cambridge University Press, 1963
