مطلوبیت خطی

در اقتصاد در نظریهٔ انتخاب مصرف‌کننده، یک تابع مطلوبیت خطی تابعی به فرم زیر است:

$u(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})=w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\dots w_{m}x_{m}$

یا به شکل برداری:

$u({\overrightarrow {x}})={\overrightarrow {w}}\cdot {\overrightarrow {x}}$

به‌صورتی که:

• $m$ تعداد کالاهای مختلف در اقتصاد است.
• ${\overrightarrow {x}}$ یک بردار با اندازهٔ $m$ است که یک مجموعه کالا را نشان می‌دهد. عنصر $x_{i}$ نیز میزان کالای $i$ در مجموعه کالا را نشان می‌دهد.
• ${\overrightarrow {w}}$ یک بردار با اندازهٔ $m$ و نشان‌دهندهٔ ترجیحات ذهنی مصرف‌کننده است. عنصر $w_{i}$ بیانگر ارزش نسبی‌ای است که مصرف‌کننده به کالای $i$ اختصاص می‌دهد. اگر $w_{i}=0$ باشد، این بدان معنی است که مصرف‌کننده فکر می‌کند محصول $i$ کاملاً بی‌ارزش است، $w_{i}$ بالاتر نیز به معنی ارزش بیشتر هر واحد از این محصول برای مصرف‌کننده است.

مصرف‌کننده با تابع مطلوبیت خطی دارای ویژگی‌های زیر است:

• ترجیحات کاملاً یکنواخت است؛ یعنی داشتن مقدار بیشتری حتی از یک کالا، مطلوبیت را اکیداً افزایش می‌دهد.
• ترجیحات به‌صورت ضعیف محدب هستند، اما اکیداً محدب نیستند: ترکیبی از دو بستهٔ یکسان، برابر با بسته‌های اصلی است اما بهتر از آن نیست.
• نرخ نهایی جایگزینی کلیهٔ کالاها ثابت است. برای هر دو کالای $i,j$ داریم:

$MRS_{i,j}=w_{i}/w_{j}$ .

• منحنی‌های بی‌تفاوتی در صورت وجود دو کالا خطوط صاف، و در صورت وجود کالاهای بیشتر، هایپر پلین هستند.
• هر منحنی تقاضا (تقاضا به عنوان تابعی از قیمت) یک تابع پله‌ای است: مصرف‌کننده می‌خواهد از کالایی که نسبت مطلوبیت به قیمت آن زیر بیشینه است، صفر واحد و از کالایی که نسبت مطلوبیت به قیمت آن بیشینه است تا می‌تواند خریداری کند.
• کالاها برای مصرف‌کننده جایگزین کامل هستند.

اقتصاد با مطلوبیت خطی

اقتصاد خطی، یک اقتصاد مبادله‌ای است که در آن همهٔ بازیگران توابع مطلوبیت خطی دارند. اقتصاد خطی دارای چندین خاصیت است.

فرض کنید که هر بازیگر $A$ یک اعطایی اولیه ${\overrightarrow {e_{A}}}$ دارد. این یک بردار با اندازه $m$ است که در آن عنصرِ $e_{A,i}$ مقدار کالای i را نشان می‌دهد که ابتدائاً در مالکیت آن در ابتدا به بازیگر $A$ داده شده‌است. در این صورت، مطلوبیت اولیهٔ این بازیگر برابر با ${\overrightarrow {w_{A}}}\cdot {\overrightarrow {e_{A}}}$ است.

فرض کنید که قیمت‌های بازار توسط بردار ${\overrightarrow {p}}$ نشان داده شود، برداری که اندازه‌اش برابر $m$ است و در آن عنصر $p_{i}$ قیمت کالاست. در این صورت، بودجهٔ بازیگر $A$ برابر با ${\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {e_{A}}}$ است. در حالتی که این بردار، بیانگر قیمت باشد، بازیگر می‌تواند همه و فقط بسته‌های${\overrightarrow {x}}$ای را بگیرد که شرط محدودیت بودجه‌اش را برآورده کند: ${\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {x}}\leq {\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {e_{A}}}$.