مشتق تعمیم یافته کلارک

در ریاضیات، انواع مشتق تعمیم یافته کلارک ، از مشتقات تعمیم یافته هستند که امکان مشتق‌گیری از توابع غیرهموار را در آنالیز ناهموار فراهم می کنند. مشتقات کلارک توسط فرانسیس کلارک در سال 1975 معرفی شدند.

تعاریف

برای یک عملکرد پیوسته لیپشیتز محلی $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ,$ مشتق جهت دار تعمیم یافته کلارک از $f$ در $x\in \mathbb {R} ^{n}$ در جهت $v\in \mathbb {R} ^{n}$ به عنوان تعریف شده است $$f^{\circ }(x,v)=\limsup _{y\rightarrow x,h\downarrow 0}{\frac {f(y+hv)-f(y)}{h}},$$ که $\limsup$ بیانگر حد زبرین است.

سپس با استفاده از تعریف فوق از $f^{\circ }$ ، گرادیان (شیب) تعمیم یافته کلارک از $f$ در $x$ ( که زیرمشتق کلارک نیز نامیده می شود) به صورت داده شده است $$\partial ^{\circ }\!f(x):=\{\xi \in \mathbb {R} ^{n}:\langle \xi ,v\rangle \leq f^{\circ }(x,v),\forall v\in \mathbb {R} ^{n}\},$$ کجا $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ یک ضرب داخلی از بردارها را نشان می دهد $\mathbb {R} .$ توجه داشته باشید که گرادیان تعمیم یافته کلارک دارای مقدار مجموعه است - یعنی در هر یک $x\in \mathbb {R} ^{n},$ مقدار تابع $\partial ^{\circ }\!f(x)$ یک مجموعه است.

به طور کلی تر، بر اساس یک فضای باناخ $X$ داده شده، و یک زیر مجموعه $Y\subset X,$ ، مشتق جهت‌دار تعمیم یافته ی کلارک و گرادیان های تعمیم یافته برای یک تابع پیوسته محلی لیپشیتز ی $f:Y\to \mathbb {R}$تعریف قابل تعریف هستند.

جستارهای وابسته

• روش زیرگرادیان - دسته ای از روش های بهینه سازی برای توابع غیر هموار.
• زیرمشتق
• بهینه سازی غیرهموار یا ناهموار