متغیرهای تصادفی شاخص

متغیرهای تصادفی شاخص، یک روش مناسب برای تبدیل بین احتمال‌ها و انتظارها را فراهم می‌کنند. فرض کنید فضای نمونه S و پیشامد A را داریم. متغیر تصادفی شاخص I{A} مربوط به پیشامد A به صورت زیر تعریف می‌شود: $I(A)={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}A{\mbox{ happen}}\\0,&{\mbox{if }}A{\mbox{ not happen}}\end{cases}}$

بعنوان یک مثال ساده، اجازه دهید تعداد مورد انتظار شیرهایی که در پرتاب یک سکه نااریب بدست می‌آیند را تعریف کنیم. فضای نمونه ماS={H,T} است، متغیر تصادفی Y را تعریف می‌کنیم که دارای مقادیر H و T، هر یک با احتمال 2/1است. سپس می‌توانیم یک متغیر تصادفی شاخص $X_{H}$ تعریف کنیم که مربوط به سکه‌ای است که شیر می‌آید و می‌توانیم به صورت پیشامد Y=H بیان کنیم. این تعداد شیرهای بدست آمده در این پرتاب را می‌شمارد. اگر سکه شیر بیاید $X_{H}$ برابر 1 و در غیر اینصورت برابر 0 است. می‌نویسیم

$X_{H}=I(Y=H)={\begin{cases}1&\,ifY=H\\0&\,ifY=T\\\end{cases}}$ تعداد مورد انتظار شیرهای بدست آمده، در یک پرتاب سکه به سادگی برابر مقدار مورد انتظار متغیر شاخص $X_{H}$ است:

$\operatorname {E} [X_{H}]=\operatorname {E} [I(Y=H)]=1.pr(Y=H)+0.pr(Y=T)=1.(1/2)+0.(1/2)=1/2\,$

بنابراین تعداد مورد انتظار شیرهای بدست آمده با یک پرتاب نااریب برابر 2/1 است. همانطور که لم زیر نشان می‌دهد، تعداد مورد انتظار یک متغیر تصادفی شاخص مربوط به پیشامد A برابر با احتمالی است که A رخ می‌دهد.

لم 1

S فضای نمونه و A پیشامدی در فضای نمونه S است. قرار دهید$X_{H}=I(A)$آنگاه

$\operatorname {E} (X_{A})=pr(A)$.

اثبات بنا به تعریف متغیر تصادفی شاخص و تعریف مقدار مورد انتظار، داریم:

$\operatorname {E} [X_{A}]=\operatorname {E} [I(A)]=1.pr(A)+0.pr({\overline {A}})=pr(A)\,$

که ${\overline {A}}$بیانگر S-A، یعنی متمم A است. اگر چه استفاده از متغیرهای تصادفی شاخص برای کاربدی مانند شمردن تعداد شیرهایی مورد انتظار در یک پرتاب سکه واحد ممکن است عملی افراط‌آمیز به نظر برسد، اما برای تحلیل وضعیت‌هایی که در آن‌ها آزمایش‌های تصادفی تکراری را انجام می‌دهیم مفید می‌باشند. برای روشن تر کردن این مطلب، می‌توانیم $X_{i}$ را متغیر تصادفی شاخص مربوط به پیشامدی در نظر بگیریم که در آن، iامین پرتاب شیر می‌آید. $Y_{i}$را متغیر تصادفی که نتیجه iامین پرتاب را نشان می‌دهد در نظر می‌گیریم، داریم $X_{i}=I(Y_{i}=H)$. فرض می‌کنیم X متغیر تصادفی باشد که تعداد کل شیرها در n پرتاب سکه را نشان می‌دهد، لذا

$\sum _{i=1}^{n}X_{i}.$

می‌خواهیم تعداد مورد انتظار شیرها را محاسبه کنیم، لذا از هر دو طرف معادله بالا انتظار (امید ریاضی) می‌گیریم، داریم

$\operatorname {E} [X]=\operatorname {E} [\sum _{i=1}^{n}X_{i}].$

سمت چپ معادله فوق، انتظار مجموع n متغیر تصادفی است. بنا به لم(1)، به سادگی می‌توانیم انتظار هر متغیر تصادفی را محاسبه کنیم. بنا به خطی بودن انتظار، محاسبه انتظار مجموع آسان است: انتظار مجموع مساوی با مجموع انتظارهای n متغیر تصادفی است. خطی بودن انتظار، استفاده از متغیرهای تصادفی شاخص را به تکنیک تحلیلی قدرتمندی تبدیل می‌کند؛ حتی زمانی‌که بین متغیرهای تصادفی وابستگی وجود دارد خطی بودن انتظار برقرار است. اکنون به سادگی می‌توانیم تعداد مورد انتظار شیرها را محاسبه کنیم:

$\operatorname {E} [X]=\operatorname {E} [\sum _{i=1}^{n}X_{i}]=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} [X_{i}]=\sum _{i=1}^{n}1/2=n/2$

منابع

• ویکی‌پدیا انگلیسی
• مقدمه‌ای بر الگوریتم‌ها - پدیدآورنده: تامس کورمن، چارلز لیزرسان، رونالد دیوست، کلیفورد اشتاین - گروه مهندسی-پژوهشی خوارزمی (مترجم) - ناشر: درخشش