فنرهای سری و موازی

در مکانیک دو یا چند فنر زمانی به صورت سری هستند که پشت سر هم و به صورت متوالی بسته شوند و زمانی به صورت موازی هستند که در کنار هم به یک قطعه بسته شوند.

موازی		سری

به‌صورت کلی دو یا چند فنر وقتی در حالت سری هستند مقدار کرنش آن‌ها تحت یک بارگذاری واحد برابر مجموع کرنش‌های هر فنر به تنهایی تحت همان بارگذاری است؛ و همچنین در حالت موازی مقدار تنش وارده به مجموع فنرها تحت یک بارگذاری واحد برابر مجموع تنش‌های هر فنر به تنهایی تحت همان بارگذاری است.

هر نوع ترکیب فنرهای هوک (رفتار-خطی) به حالت سری و موازی مانند یک فنر هوک رفتار می‌کند. فرمول‌های مشخصات فیزیکی ترکیب فنرها مشابه خازنها در ترکیب سری و موازی، مدارهای الکتریکی است.

فرمولها

فنر معادل

جدول زیر مقدار ثابت فنر و دیگر متغیرهای مربوط به فنر را در حالتهای سری و موازی نشان می‌دهد.

تعداد	در حالت موازی	در حالت سری
ثابت فنر معادل	$k_{\mathrm {eq} }=k_{1}+k_{2}$	${\frac {1}{k_{\mathrm {eq} }}}={\frac {1}{k_{1}}}+{\frac {1}{k_{2}}}$
ضریب انعطاف‌پذیری معادل	${\frac {1}{c_{\mathrm {eq} }}}={\frac {1}{c_{1}}}+{\frac {1}{c_{2}}}$	$c_{\mathrm {eq} }=c_{1}+c_{2}$
تغییر شکل (طول)	$x_{\mathrm {eq} }=x_{1}=x_{2}$	$x_{\mathrm {eq} }=x_{1}+x_{2}$
نیرو	$F_{\mathrm {eq} }=F_{1}+F_{2}$	$F_{\mathrm {eq} }=F_{1}=F_{2}$
انرژی ذخیره شده	$E_{\mathrm {eq} }=E_{1}+E_{2}$	$E_{\mathrm {eq} }=E_{1}+E_{2}$

فرمولهای تفکیک

تعداد	در حالت موازی	در حالت سری
تغییر شکل (طول)	$x_{1}=x_{2}\,$	${\frac {x_{1}}{x_{2}}}={\frac {k_{2}}{k_{1}}}={\frac {c_{1}}{c_{2}}}$
نیرو	${\frac {F_{1}}{F_{2}}}={\frac {k_{1}}{k_{2}}}={\frac {c_{2}}{c_{1}}}$	$F_{1}=F_{2}\,$
انرژی ذخیره شده	${\frac {E_{1}}{E_{2}}}={\frac {k_{1}}{k_{2}}}={\frac {c_{2}}{c_{1}}}$	${\frac {E_{1}}{E_{2}}}={\frac {k_{2}}{k_{1}}}={\frac {c_{1}}{c_{2}}}$

اثبات

ثابت فنر هم‌ارز (سری)

برای بدست آوردن ثابت فنر هم-ارز دو فنر سری $k_{eq}$، باید از روش هوشمندانه تری نسبت به حالت دو فنر موازی استفاده کرد. اگر فرض کنیم میزان تغییر شکل در فنر هم‌ارز (که برابر است با موقعیت مکانی جرم انتهای فنرها) برابر با x۲ باشد، برای بدست آوردن $k_{eq}$ نیاز داریم تا به رابطه‌ای مانند معادلهٔ زیر برسیم: $F_{b}=-k_{eq}x_{2}.\,$ همچنین فرض می‌کنیم که نقطهٔ پیوند میان دو فنر موقعیت x۲ را داشته باشد؛ بنابراین نیروی وارده بر جرم انتهایی برابر است با: $F_{b}=-k_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right).\quad \quad \quad (1)\,$ همچنین نیروی وارده بر محل پیوند میان دو فنر برابر خواهد بود با: $F_{s}=-k_{1}x_{1}+k_{2}(x_{2}-x_{1}).\,$ وقتی که جرم هول داده می‌شود، فنرها فشرده می‌شوند، حال اگر جرم را رها کنیم کل سامانه اجازه پیدا می‌کند تا به حالت تعادل بازگردد وقتی سامانه به سمت تعادل یا نیروی صفر بازمی‌گردد به این معنی است که مجموع نیروهای فنرها برابر با صفر می‌شود. پس $F_{s}=0$ می‌شود، برای بدست آوردن $x_{1}\,$ می‌نویسیم: $-k_{1}x_{1}+k_{2}(x_{2}-x_{1})=0\,$ $-k_{1}x_{1}-k_{2}x_{1}=-k_{2}x_{2}\,$ $\left(k_{1}+k_{2}\right)x_{1}=k_{2}x_{2}\,$ پس: $x_{1}={\frac {k_{2}}{k_{1}+k_{2}}}x_{2}.\,$ مقدار بدست آمدهٔ $x_{1}\,$ را در رابطهٔ (۱) جایگزین می‌کنیم: $F_{b}\,$ $=-k_{2}x_{2}+k_{2}x_{1}\,$ $=-k_{2}x_{2}+k_{2}\left({\frac {k_{2}}{k_{1}+k_{2}}}x_{2}\right)\,$ $=-k_{2}x_{2}\left({\frac {k_{1}+k_{2}}{k_{1}+k_{2}}}\right)+{\frac {k_{2}^{2}}{k_{1}+k_{2}}}x_{2}\,$ $=x_{2}{\frac {-k_{1}k_{2}-k_{2}^{2}+k_{2}^{2}}{k_{1}+k_{2}}}\,$ به این ترتیب نیروی وارده به جرم بدست می‌آید: $F_{b}=-\left({\frac {k_{1}k_{2}}{k_{1}+k_{2}}}\right)x_{2}.\,$ می‌توان گفت که عبارت داخل پرانتز ثابت فنر هم‌ارز این سامانه‌است: $k_{eq}={\frac {k_{1}k_{2}}{k_{1}+k_{2}}}.\,$ عبارت بالا را بازنویسی می‌کنیم: ${\frac {1}{k_{eq}}}={\frac {1}{k_{1}}}+{\frac {1}{k_{2}}}.\,$

ثابت فنر هم‌ارز (موازی)
هر دوی فنرها به جرم موجود در سامانه بسته شده‌اند پس میزان تغییر شکل هر دو فنر با هم برابر است. نیروی وارده به جرم برابر خواهد بود با: $F_{b}\,$ $=F_{1}+F_{2}\,$ $=-k_{1}x-k_{2}x\,$ پس از فاکتورگیری خواهیم داشت: $F_{b}=-(k_{1}+k_{2})x.\,$ می‌توان نتیجه گرفت که عبارت داخل پرانتز همان ثابت فنر هم‌ارز این سامانه‌است: $k_{eq}=k_{1}+k_{2}.\,$

طول فشردگی
وقتی که دو فنر به صورت سری بسته شده باشند، اندازهٔ نیروی هر دو فنر با هم برابر است: $|F_{1}|=|F_{2}|\,$ $k_{1}x_{1}=k_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right).\,$ x1 میزان تغییر طول فنر یک، و x2 - x1 میزان تغییر طول فنر دو است. تعریف می‌کنیم: $a_{1}=x_{1}\,$ $a_{2}=x_{2}-x_{1}.\,$ عبارت‌های بالا را جایگزین می‌کنید: ${\frac {a_{1}}{a_{2}}}={\frac {k_{2}}{k_{1}}}.\,$

انرژی ذخیره شده

نسبت انرژی ذخیره شده در دو فنر سری عبارت است از: ${\frac {E_{1}}{E_{2}}}={\frac {{\frac {1}{2}}k_{1}a_{1}^{2}}{{\frac {1}{2}}k_{2}a_{2}^{2}}},\,$ پیش تر رابطهٔ میان a1 و a2 را بدست آورده بودیم که در رابطهٔ بالا جایگزین می‌کنیم: ${\frac {E_{1}}{E_{2}}}={\frac {k_{1}}{k_{2}}}\left({\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)^{2}={\frac {k_{2}}{k_{1}}}.\,$ برای فنرهای موازی: ${\frac {E_{1}}{E_{2}}}={\frac {{\frac {1}{2}}k_{1}x^{2}}{{\frac {1}{2}}k_{2}x^{2}}}\,$ چون در فنرهای موازی، میزان فشردگی هر دو فنر با هم برابر است، x از دو طرف تساوی ساده می‌شود: ${\frac {E_{1}}{E_{2}}}={\frac {k_{1}}{k_{2}}}.\,$

جستارهای وابسته

• خرپا

منابع

ویکی‌پدیای انگلیسی