فرمول والیس

فرمول والیس نام یک رابطه ریاضی است.

پیشینه

فرمول والیس یکی از مهم‌ترین آثار جان والیس در ریاضیات است. او با ابداع این فرمول ریاضی کار لئونارد اویلر را پیش انداخت.

بیان ریاضی

والیس از کارهای فرما و دیگران برای محاسبه

$y={\sqrt {x-x^{2}}}$

سطح زیر نیم‌دایره را برابر ${\frac {\Pi }{8}}$ در نظر گرفت.

سپس رابطه زیر را نتیجه گرفت:

$\int _{0}^{1}{\sqrt {x-x^{2}}}{dx}={\frac {({\frac {1}{2}}!)^{2}}{2!}}$

با در نظر گرفتن حاصل ضرب نامحدود زیر:

${\frac {2}{\Pi }}={\frac {1.3.3.5.5.7...}{2.2.4.4.6.6...}}$

می‌توان فرمول والیس را به صورت زیر نوشت:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\int _{0}^{\frac {\Pi }{2}}\,\sin ^{n}x{dx}}{\int _{0}^{\frac {\Pi }{2}}\,\sin ^{n+1}x{dx}}}=1$

فرمول والیس برای اعداد صحیح فرد عبارت است از:

$\int _{0}^{\frac {\Pi }{2}}\,\sin ^{m}x{dx}={\frac {(m-1)!}{m!!}}$

و برای اعداد صحیح زوج:

$\int _{0}^{\frac {\Pi }{2}}\,\sin ^{m}x{dx}={\frac {(m-1)!}{m!!}}{\frac {\Pi }{2}}$

در فرمول ریاضی بالا !!m حاصل ضرب (m(m - 2)(m - 4 است.

منابع

• Carl B. Boyer, A history of mathematics, 2nd edition, by John Wiley & Sons, Inc., page 384, 1991

جستارهای وابسته

• جان والیس