فرمول خوش‌فرم

فرمول یک زبان رسمی از یک مجموعه خاص رشته نمادها است. قضایای یک تئوری خاص رسمی یک زیر مجموعه از مجموعهٔ فرمول هاست.

در منطق ریاضی، یک فرمول خوش‌فرم یا دیسول خوش‌دیسه (که به صورت wff نشان داده می‌شود) اغلب فرمول را ساده می‌کند آن‌ها بیشتر، یک توالی متناهی از نمادهای یک الفبای متعلق به یک زبان رسمی می‌باشند. یک زبان رسمی با مجموعه‌ای از فرمول‌های موجود در آن زبان شناخته می‌شود.

یک فرمول، شیئی ترکیبی است که می‌تواند برای انجام یک تفسیر با معنی باشد دو راه حلی که از فرمول‌ها استفاده می‌کنند منطق گزاره‌ای و منطق مسندی هستند.

حساب گزاره‌ای

فرمول‌های محاسبات گزاره‌ای " که همچنین فرمول‌های گزاره‌ای نامیده می‌شوند"اصطلاحاتی هستند نظیر $(A\land (B\lor C))$. تعریف آنها شروع می‌شود با انتخاب دلخواه از مجموعه‌ای V از متغیرهای گزاره‌ای. الفبای متشکل از حروف V همراه با نمادها برای روابط گزاره‌ای و پرانتز "(" و ") " که همه آنها در نظر گرفته نمی‌شود در Vاست.

فرمول‌های خوش فرم منطقی را می‌توان به صورت استقرایی زیر تعریف کرد:

• هر متغیر گزاره‌ای به خودی خود یک فرمول است.
• اگر φ یک فرمول باشد پس $\lnot$φ هم یک فرمول است.
• اگر φ و ψ فرمول باشند و • یک رابط دودویی باشد سپس (φ • ψ) یک فرمول است. در اینجا • می‌تواند (و نه محدود به) اپراتورهای رایج ∨های ∧, →, یا ↔

به عنوان مثال

(p→r)∧(p→q)

یک WFF است؛ ولی فرمول:

(pr)∧(p→q)

یک WFF نیست. زیرا از نظر دستوری درست نیست.

معمولاً برای ساخت یک فرمول خوش تعریف عملگرهای متنوعی در کنار هم قرار داده می‌شوند. به عنوان مثال عبارت p+q.r را در نظر بگیرید. مسئله‌ای که مطرح است این است که کدام یک از عملگرها را زود تر بررسی کنیم. به عنوان مثال r=F و p=q=T آنگاه دو حالت رخ می‌دهد.

حالت اول:اگر ابتدا + و سپس. عمل کند آنگاه ارزش عبارت برابر False خواهد بود.

حالت دوم:اگر ابتدا؛ و سپس + عمل کند آنگاه ارزش عبارت برابر True خواهد بود.

ترتیب اولویت‌ها به صورت زیر است:

۱-پرانتز () ۲-نقیض ~ ۳-ترکیب عطفی ∧ ۴-ترکیب فصلی ∨ ۵-ترکیب شرطی → ۶-ترکیب هم‌ارزی ↔

بالاترین اولویت مربوط به پرانتز و کمترین آن مربوط ترکیب هم‌ارزی می‌باشد. اگر دو عملگر در یک عبارت اولویت یکسانی داشته یاشند، عملگری که در سمت چپ عمگر دیگر قرار گرفته است اولویت بالاتری دارد. به عنوان مثال عبارت p→q∧r∨s→t را می‌توان به صورت عبارت زیر پرانتز بندی کرد؛ که این پرانتز بندی ترتیب اعمال عملگرها رو به طور کامل نشان می‌دهد.

((p→((q∧r))∨s))

منابع

• Allen, Layman E. (1965), "Toward Autotelic Learning of Mathematical Logic by the WFF 'N PROOF Games", Mathematical Learning: Report of a Conference Sponsored by the Committee on Intellective Processes Research of the Social Science Research Council, Monographs of the Society for Research in Child Development, 30 (1): 29–41
• Boolos, George; Burgess, John; Jeffrey, Richard (2002), Computability and Logic (4th ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-00758-0
• Ehrenberg، Rachel (Spring ۲۰۰۲). «He's Positively Logical». Michigan Today. University of Michigan. بایگانی‌شده از اصلی در ۸ فوریه ۲۰۰۹. دریافت‌شده در ۲۰۰۷-۰۸-۱۹.
• Enderton, Herbert (2001), A mathematical introduction to logic (2nd ed.), Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-238452-3
• Gamut, L.T.F. (1990), Logic, Language, and Meaning, Volume 1: Introduction to Logic, University Of Chicago Press, ISBN 0-226-28085-3
• Hodges, Wilfrid (2001), "Classical Logic I: First-Order Logic", in Goble, Lou (ed.), The Blackwell Guide to Philosophical Logic, Blackwell, ISBN 978-0-631-20692-7
• Hofstadter, Douglas (1980), Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid, Penguin Books, ISBN 978-0-14-005579-5
• Kleene, Stephen Cole (2002) [1967], Mathematical logic, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-42533-7, MR 1950307
• Rautenberg, Wolfgang (2010), A Concise Introduction to Mathematical Logic (3rd ed.), New York: Springer Science+Business Media, doi:10.1007/978-1-4419-1221-3, ISBN 978-1-4419-1220-6