رمزنگاری هم‌ریختی

رمزنگاری هم‌ریختی نوعی از رمزنگاری است که به وسیله آن می‌توان بر روی متن رمز، عملیات خاص ریاضی انجام داد و عملیات ریاضی انجام شده عیناً بر روی متن آشکار پیاده می‌شود. برای مثال یک نفر می‌تواند دو عدد رمزشده را با هم جمع کند، و رمزگشایی نتیجه، جمع آن دو عدد را نشان خواهد داد. از جمله کاربردهای رمزنگاری هم‌ریختی می‌توان به سیستم‌های رای امن و بازیابی اطلاعات مخفی اشاره کرد.

رمزنگاری هم‌ریختی جزئی

در مثال‌های زیر علامت ${\mathcal {E}}(x)$ نشان دهنده رمزنگاری پیام x می‌باشد. مطالب این صفحه از صفحه انگلیسی ویکیپیدیا گرفته شده است.

Unpadded RSA

اگر رمزنگاری کلید عمومی RSA پیمانه $m$ و توان $e$ باشد، در نتیجه رمزنگاری یک پیام $x$ به صورت ${\mathcal {E}}(x)=x^{e}\;{\bmod {\;}}m$ می‌باشد. در نتیجه خصوصیت هم‌ریختی به صورت زیر می‌باشد:

${\mathcal {E}}(x_{1})\cdot {\mathcal {E}}(x_{2})=x_{1}^{e}x_{2}^{e}\;{\bmod {\;}}m=(x_{1}x_{2})^{e}\;{\bmod {\;}}m={\mathcal {E}}(x_{1}\cdot x_{2})$

ElGamal

در ElGamal cryptosystem، در یک گروه $G$، اگر کلید عمومی $(G,q,g,h)$ باشد که $h=g^{x}$، و $x$ کلید رمز باشد، در نتیجه رمزنگاری یک پیام $m$، به صورت ${\mathcal {E}}(m)=(g^{r},m\cdot h^{r})$ می‌باشد، که به ازای یک مقدار تصادفی $r\in \{0,\ldots ,q-1\}$ بدست می‌آید. در نتیجه خصوصیت هم‌ریختی به صورت زیر می‌باشد:

${\mathcal {E}}(x_{1})\cdot {\mathcal {E}}(x_{2})=(g^{r_{1}},x_{1}\cdot h^{r_{1}})(g^{r_{2}},x_{2}\cdot h^{r_{2}})=(g^{r_{1}+r_{2}},(x_{1}\cdot x_{2})h^{r_{1}+r_{2}})={\mathcal {E}}(x_{1}\cdot x_{2})$

Goldwasser-Micali

در رمزنگاری گلدواسر-میکالی، اگر کلید عمومی به پیمانه $m$ و quadratic non-residue x, در نتیجه رمزنگاری یک بیت b به صورت ${\mathcal {E}}(b)=x^{b}r^{2}\;{\bmod {\;}}m$ می‌باشد که به ازای مقدار تصادفی $r\in \{0,\ldots ,m-1\}$ می‌باشد. خصوصیت هم‌ریختی به صورت زیر می‌باشد:

${\mathcal {E}}(b_{1})\cdot {\mathcal {E}}(b_{2})=x^{b_{1}}r_{1}^{2}x^{b_{2}}r_{2}^{2}=x^{b_{1}+b_{2}}(r_{1}r_{2})^{2}={\mathcal {E}}(b_{1}\oplus b_{2})$

$\oplus$ نشان دهنده جمع به پیمانه ۲ یا exclusive-or می‌باشد.

Benaloh

در Benaloh cryptosystem، اگر کلید عمومی در پیمانه m و پایه g و c به عنوان اندازه بلوک، در نتیجه رمزنگاری پیام x به صورت ${\mathcal {E}}(x)=g^{x}r^{c}\;{\bmod {\;}}m$ می‌باشد که به ازای مقدار تصادفی $r\in \{0,\ldots ,m-1\}$ است. خصوصیت هم‌ریختی به صورت زیر می‌باشد:

${\mathcal {E}}(x_{1})\cdot {\mathcal {E}}(x_{2})=(g^{x_{1}}r_{1}^{c})(g^{x_{2}}r_{2}^{c})=g^{x_{1}+x_{2}}(r_{1}r_{2})^{c}={\mathcal {E}}(x_{1}+x_{2}\;{\bmod {\;}}c)$

Paillier

اگر در Paillier cryptosystem، اگر کلید عمومی در پیمانه m و پایه g، در نتیجه رمزنگاری پیام x به صورت ${\mathcal {E}}(x)=g^{x}r^{m}\;{\bmod {\;}}m^{2}$ می‌باشد که به ازای مقدار تصادفی $r\in \{0,\ldots ,m-1\}$ است. خصوصیت هم‌ریختی به صورت زیر می‌باشد:

${\mathcal {E}}(x_{1})\cdot {\mathcal {E}}(x_{2})=(g^{x_{1}}r_{1}^{m})(g^{x_{2}}r_{2}^{m})=g^{x_{1}+x_{2}}(r_{1}r_{2})^{m}={\mathcal {E}}(x_{1}+x_{2}\;{\bmod {\;}}m)$

موارد دیگر رمزنگاری هم‌ریختی جزئی

• Okamoto–Uchiyama cryptosystem
• Naccache–Stern cryptosystem
• Damgård–Jurik cryptosystem
• Boneh–Goh–Nissim cryptosystem