رابطه پادمتقارن

روابط دوتایی ترایا
متقارن پادمتقارن کانکس خوش-بنیان $\vee$ دارد $\wedge$ دارد بازتابی غیربازتابی نامتقارن رابطه هم‌ارزی ✓ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ پیش‌ترتییب (شبه‌ترتیب) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ ترتیب جزئی ✗ ✓ ✗ ✗ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ پیش-ترتیب کلی ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ ترتیب کلی ✗ ✓ ✓ ✗ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ پیش-خوش‌ترتیب ✗ ✗ ✓ ✓ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ خوش-شبه-ترتیب ✗ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ خوش‌ترتیب ✗ ✓ ✓ ✓ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ مشبکه ✗ ✓ ✗ ✗ ✓ ✓ ✓ ✗ ✗ جوین-نیم-مشبکه ✗ ✓ ✗ ✗ ✓ ✗ ✓ ✗ ✗ میت-نیم-مشبکه ✗ ✓ ✗ ✗ ✗ ✓ ✓ ✗ ✗ جزئی‌مرتب قطعی ✗ ✓ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✓ ✓ مجوعه ضعیف‌مرتب ✗ ✓ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✓ ✓ ترتیب کلی قطعی ✗ ✓ ✓ ✗ ✗ ✗ ✗ ✓ ✓ تعاریف: برای تمام $a$ و $b$ ها و $S\neq \varnothing$ : ${\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}aRb{\text{ and }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ or }}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\vee b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ $aRa$ ${\text{not }}aRa$ ${\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}$
علامت "✓" نشان‌دهنده آن است که ویژگی ستونی در تعریف آن سطر لازم است. برای مثال تعریف رابطه هم‌ارزی لازم دارد تا متقارن باشد. به صورت ضمنی همه این تعاریف ترایا و بازتابی می‌باشند. علامت "✗" نشان‌دهنده آن است که ویژگی به طور کلی تضمین نمی‌شود (می‌تواند برقرار باشد، یا نباشد). تمام روابط بالا مستلزم آن است که رابطه همگون $R$ ترایا باشد: برای تمام $a$ و $b$ و $c$ ها، اگر $aRb$ و $bRc$ آنگاه $aRc$.

رابطه پادمتقارن

در علم ریاضیات، یک رابطه همگن R روی مجموعه X، در صورتی پادمتقارن (به انگلیسی: Antisymmetric) است، اگر هیچ جفت عنصر متمایزی در X موجود نباشد که هر کدام توسط R به دیگری مرتبط باشد و رابطه معکوس آن هم برقرار باشد.

تعریف رابطه و نمادهای آن:

$\exists A,B\Longrightarrow R\subseteq A\times B$

$R=\{(a,b)\mid (a,b)\in A\times B\}$

$(a,b)\in R=aRb$ : می‌خوانیم a با b را بطه دارد.

«توجه کنید که a مولفه اول و b مولفه دوم است.»

در ریاضیات رابطه دوتایی مثل R روی مجموعه X پادمتقارن است که به ازای هر دو عضو a و b در X اگرهم a با b و هم b با a رابطه داشته باشد آنگاه نتیجه شود a = b است.

به بیان ریاضی رابطه R روی X پادمتقارن است اگر:

$\forall a,b\in X,\ aRb\land bRa\;\Rightarrow \;a=b$

همین‌طور برابر با این تعریف می‌توان این‌گونه گفت:

$\forall a,b\in X,\ aRb\land a\neq b\Rightarrow \lnot (bRa).$

یا به عبارتی دیگر:

$\forall a,b\in X,(a,b)\in R\land a\neq b\Rightarrow (b,a)\not \in R.$

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Antisymmetric relation». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۴ اوت ۲۰۰۸.