درباره گزاره‌های تصمیم‌ناپذیر از اصول ریاضیات و سیستم‌های مرتبط
دربارۀ گزاره‌های تصمیم‌ناپذیر از اصول ریاضیات و سیستم‌های مرتبط (به انگلیسی: On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems) مقاله‌ای در منطق ریاضی است که در ۱۷ نوامبر ۱۹۳۰، توسط کورت گودل، ریاضی‌دان، منطق‌دان و فیلسوف اتریشی منتشر شده‌است. این اثر در اصل به زبان آلمانی در جلد ۱۹۳۱ مجله ریاضی موناتشفت فور ماتماتیک منتشر شد. چندین ترجمه انگلیسی از این مقاله به صورت چاپی منتشر شده‌است و در دو مجموعه از مقالات منطق ریاضی کلاسیک گنجانده شده‌است. این مقاله شامل قضایای ناتمامیت گودل است، که اکنون نتایج اساسی در منطق است و پیامدهای زیادی برای اثبات سازگاری در ریاضیات دارد. این مقاله همچنین برای معرفی تکنیک‌های جدیدی که گودل برای اثبات قضایای ناقص بودن ابداع کرد، شناخته‌شده‌است.
طرح کلی و نتایج کلیدی
[ویرایش]نتایج اصلی به‌دست آمده از این مقاله، قضایای ناتمامییت اول و دوم گودل است که تأثیر زیادی در زمینه منطق ریاضی داشته‌است. این دو قضیه به ترتیب به‌عنوان قضایای VI و XI در مقاله ظاهر می‌شوند.
به منظور اثبات نتایج، گودل روشی را معرفی کرد که اکنون به نام شماره‌گذاری گودل معروف است. در این روش به هر جمله و برهان صوری در محاسبات مرتبه اول یک عدد طبیعی خاص اختصاص داده می‌شود. گودل نشان می‌دهد که بسیاری از ویژگی‌های این اثبات‌ها را می‌توان در هر نظریه‌ای از حساب که برای تعریف توابع بازگشتی اولیه باشد، تعریف کرد. (اصطلاحات معاصر برای توابع بازگشتی و توابع بازگشتی اولیه هنوز در زمان انتشار مقاله ایجاد نشده بود) گودل برای آنچه که اکنون توابع بازگشتی اولیه شناخته می‌شود، از کلمه رکورسیو (:rekursiv :بازگردان) استفاده کرد. روش شماره‌گذاری گودل از آن زمان در منطق ریاضی رایج شد.
از آن‌جا که روش شماره‌گذاری گودل جدید بود، برای جلوگیری از هرگونه ابهام، فهرستی از ۴۵ تعریف رسمی صریح از توابع بازگشتی اولیه و روابط مورد استفاده برای دست‌کاری و آزمایش اعداد گودل ارائه کرد. او از این فهرست ا برای ارائه یک تعریف صریح از فرمول Bew(x) استفاده کرد، که اگر و فقط اگر x عدد گودل یک جمله φ باشد و یک عدد طبیعی وجود داشته باشد که عدد گودل یک برهان φ باشد درست است. نام این فرمول از Beweis (کلمه‌ای آلمانی برای اثبات) گرفته شده‌است.
دومین تکنیک جدیدی که گودل در این مقاله ابداع کرد، استفاده از جملات خودارجاعی بود. گودل نشان داد که پارادوکس‌های کلاسیک خودارجاعی، مانند «این گزاره نادرست است» را می‌توان به‌عنوان جملات رسمی خودارجاعی حسابی بازنویسی کرد. به‌طور غیررسمی، جمله‌ای که برای اثبات اولین قضیه ناقص بودن گودل به‌کار می‌رود می‌گوید: «این جمله قابل اثبات نیست». این واقعیت که چنین ارجاعی را می‌توان در حساب بیان کرد تا زمانی که مقاله گودل منتشر شده بود، شناخته‌شده نبود. کار مستقل آلفرد تارسکی در مورد قضیه تعریف‌ناپذیری او تقریباً در همان زمان انجام شد اما تا سال ۱۹۳۶ منتشر نشد.
جستارهای وابسته
[ویرایش]منابع
[ویرایش]- استفان بائر-منگلبرگ (۱۹۶۶). بررسی غیرقابل تصمیم‌گیری: مقالات اساسی در مورد گزاره‌های غیرقابل تصمیم، مسائل حل‌نشدنی و توابع قابل محاسبه. مجله منطق نمادین، جلد. ۳۱، شماره ۳. (سپتامبر ۱۹۶۶)، صص. ۴۸۴–۴۹۴.
- آلونزو چرچ (۱۹۷۲). بررسی کتاب منبع در منطق ریاضی 1879 – ۱۹۳۱. مجله منطق نمادین، جلد. ۳۷، شماره ۲. (ژوئن ۱۹۷۲)، ص. ۴۰۵.
- مارتین دیویس، ویرایش. (۱۹۶۵). غیرقابل تصمیم‌گیری: مقالات اساسی در مورد گزاره‌های غیرقابل تصمیم، مسائل حل‌نشدنی و توابع قابل محاسبه، ریون، نیویورک. تجدید چاپ، دوور، ۲۰۰۴. شابک ۰-۴۸۶-۴۳۲۲۸-۹.
- مارتین دیویس، (۲۰۰۰). موتورهای منطق: ریاضیات و خاستگاه کامپیوتر، WW Norton & Company، نیویورک. شابک ۰−۳۹۳−۳۲۲۲۹−۷شابک 0-393-32229-7 pbk.
- کورت گودل (۱۹۳۱)، «درباره مقالات اساسی در مورد گزاره‌های غیرقابل تصمیم، مسائل حل‌نشدنی و توابع قابل محاسبه». شماره‌های ماهنامه ریاضی و فیزیک 38: 173–198.doi:10.1007/BF01700692. به‌صورت آنلاین از طریق SpringerLink در دست‌رس است.
- کورت گودل (۱۹۵۸). «دربارهٔ مقالات اساسی در مورد گزاره‌های غیرقابل تصمیم، مسائل حل‌نشدنی و توابع قابل محاسبه». دیالکتیک ج ۱۲، صص. تجدیدچاپ شده در ترجمه انگلیسی در آثار گردآوری‌شده گودل، جلد دوم، سولومان ففرمن و همکاران، ویرایش. انتشارات دانشگاه آکسفورد، ۱۹۹۰.
- ژان ون هایجنورت، ویرایش. (۱۹۶۷). از فرگه تا گودل: کتاب منبع در مورد منطق ریاضی 1879 – ۱۹۳۱. انتشارات دانشگاه هاروارد.
- برنارد ملتزر (۱۹۶۲). در مورد گزاره‌های رسمی غیرقابل تصمیم‌گیری از اصول ریاضیات و و سیستم‌های مرتبط. ترجمه اصل آلمانی توسط کورت گودل، ۱۹۳۱. کتاب‌های پایه، ۱۹۶۲. تجدید چاپ، دوور، ۱۹۹۲. شابک ۰−۴۸۶−۶۶۹۸۰−۷شابک 0-486-66980-7.
- ریموند اسمولیان (۱۹۶۶). مروری بر «در مورد گزاره‌های رسمی غیرقابل تصمیم‌گیری از اصول ریاضیات و و سیستم‌های مرتبط». ماهنامه ریاضی آمریکا، جلد. ۷۳، شماره ۳. (مارس ۱۹۶۶)، صص. ۳۱۹–۳۲۲.
- جان دبلیو داوسون، (۱۹۹۷). معضلات منطقی: زندگی و کار کورت گودل، ای کی پیترز، ولزلی، ماساچوست. شابک ۱−۵۶۸۸۱−۲۵۶−۶. شابک 1-56881-256-6.
پیوند به بیرون
[ویرایش]- «درباره گزاره‌های غیرقابل تصمیم‌گیری از اصول ریاضیات و سیستم‌های مرتبط I». ترجمه مارتین هیرزل، ۲۷ نوامبر ۲۰۰۰.
- «در مورد گزاره‌های غیرقابل تصمیم‌گیری از اصول ریاضیات و سیستم‌های مرتبط» در صفحه وب ویلهلم ک. اسلر (پروفسور منطق، دانشگاه گوته فرانکفورت آم ماین)