جدول گروه‌های لی

این مقاله شامل جداولی از برخی گروه‌های لی رایج و جبرهای لی متناظرشان را ارائه می نماید.

این موارد ذکر شده اند: خواص توپولوژیکی گروه (بعد؛ همبندی؛ فشردگی؛ ماهیت گروه بنیادی؛ و این که آیا همبند ساده اند یا نه، به علاوه خواص جبریشان (آبلی؛ ساده؛ نیم‌ساده).

گروه‌های لی حقیقی و جبرهایشان

شرح علائم به کار رفته برای عنوان ستون‌ها:

Cpt: آیا گروه G مورد نظر فشرده است یا خیر? (بله یا خیر)
$\pi _{0}$ : گروه مؤلفه‌های G را می‌دهد. مرتبه بزرگی گروه مؤلفه‌ای، تعداد مؤلفه‌های همبندی را ارائه می‌کند. گروه مورد نظر همبند است اگر و تنها اگر گروه مؤلفه‌ها بدیهی باشد (که با 0 نشان داده شده).
$\pi _{1}$ : هرگاه G همبند باشد، گروه بنیادی G را می‌دهد.
UC: اگر G همبند ساده نباشد، پوشش جهانی G را می‌دهد.
$dim/\mathbb {R}$ : بعد روی فضای برداری با اسکالرهای حقیقی.

گروه لی	توصیف	Cpt	$\pi _{0}$	$\pi _{1}$	UC	نکات	جبر لی	$dim/\mathbb {R}$
$\mathbb {R} ^{n}$	فضای اقلیدسی به همراه جمع	N	0	0		آبلی	$\mathbb {R} ^{n}$	n
$\mathbb {R} ^{\times }$	اعداد حقیقی ناصفر به همراه جمع	N	${\mathbb {Z} }_{2}$	–		آبلی	$\mathbb {R}$	1
$\mathbb {R} ^{+}$	اعداد حقیقی مثبت با ضرب	N	0	0		آبلی	$\mathbb {R}$	1
$S^{1}=U(1)$	گروه دایره‌ای: اعداد مختلط با قدر مطلق 1، با ضرب؛	Y	0	${\mathbb {Z} }$	$\mathbb {R}$	آبلی، یکریخت با SO(2)، Spin(2)، و $\mathbb {R} /{\mathbb {Z} }$	$\mathbb {R}$	1
Aff(1)	تبدیلات آفین معکوس‌پذیر از $\mathbb {R}$ به $\mathbb {R}$ .	N	${\mathbb {Z} }_{2}$	0		گروه حل‌پذیر؛ ضرب نیم‌مستقیم از $\mathbb {R} ^{+}$ و $\mathbb {R} ^{\times }$	$\left\{\left[{\begin{smallmatrix}a&b\\0&0\end{smallmatrix}}\right]:a,b\in \mathbb {R} \right\}$	2
$\mathbb {H} ^{\times }$	چهارگان‌های ناصفر با ضرب	N	0	0			$\mathbb {H}$	4
$S^{3}=Sp(1)$	چهارگان‌هایی با قدر مطلق 1 با ضرب؛ از نظر توپولوژیکی یک 3-کره است.	Y	0	0		یکریخت با SU(2) و Spin(3)؛ پوشش مضاعفی از SO(3)	$Im(\mathbb {H} )$	3
$GL(n,\mathbb {R} )$	گروه خطی عام: ماتریس‌های حقیقی n×n معکوس‌پذیر	N	${\mathbb {Z} }_{2}$	–			$M(n,\mathbb {R} )$	$n^{2}$
$GL^{+}(n,\mathbb {R} )$	ماتریس‌های حقیقی n×n با دترمینان مثبت	N	0	${\mathbb {Z} };n=2$ n=2 ${\mathbb {Z} }_{2}$ n>2		$GL^{+}(1,\mathbb {R} )$ با $\mathbb {R} ^{+}$ یکریخت بوده و همبند ساده است	M(n, $\mathbb {R}$ )	n²
SL(n, $\mathbb {R}$ )	گروه خطی خاص: ماتریس‌های حقیقی با دترمینان 1	N	0	${\mathbb {Z} }$ n=2 ${\mathbb {Z} }_{2}$ n>2		$SL(1,\mathbb {R} )$ تک نقطه است و بنابراین فشرده و همبند ساده است.	sl(n, $\mathbb {R}$ )	n²−1
SL(2, $\mathbb {R}$ )	ایزومتری‌های جهت-نگهدار نیم-صفحه پوانکاره، یکریخت با $SU(1,1)$ ، و یکریخت با $Sp(2,\mathbb {R}$ .	N	0	${\mathbb {Z} }$		پوشش جهانی اش هیچ نمایش وفادار متناهی بعدی ندارد.	sl(2, $\mathbb {R}$ )	3
O(n)	گروه متعامد: ماتریس‌های متعامد حقیقی	Y	${\mathbb {Z} }_{2}$	–		گروه متقارن کره (n=3) یا ابرکره.	so(n)	n(n−1)/2
SO(n)	گروه متعامد خاص: ماتریس‌های متعامد حقیقی با دترمینان 1	Y	0	${\mathbb {Z} }$ n=2 ${\mathbb {Z} }_{2}$ n>2	Spin(n) n>2	$SO(1)$ تک نقطه است و $SO(2)$ یکریخت با گروه دایره‌ای است، $SO(3)$ نیز گروه دایره‌ای کره است.	so(n)	n(n−1)/2
Spin(n)	گروه اسپین: پوشش مضاعفی از $SO(n)$ .	Y	0 n>1	0 n>2		$Spin(1)$ یکریخت با $\mathbb {Z} _{2}$ بوده و همبند نیست؛ $Spin(2)$ یکریخت با گروه دایره‌ای است و همبند ساده نیست.	so(n)	n(n−1)/2
$sp(2n,\mathbb {R} )$	گروه سیمپلکتیک: ماتریس‌های سیمپلکتیک حقیقی	N	0	${\mathbb {Z} }$			$sp(2n,\mathbb {R} )$	n(2n+1)
Sp(n)	گروه سیمپلکتیک فشرده: ماتریس‌های یکانی چهارگانی n×n.	Y	0	0			sp(n)	n(2n+1)
$Mp(2n,\mathbb {R} )$	گروه متاپلکتیک: پوشش مضاعفی از گروه سیمپلکتیک حقیقی $Sp(2n,\mathbb {R} )$	Y	0	${\mathbb {Z} }$		$Mp(2,\mathbb {R} )$ گروه لی بوده که جبری نیست.	sp(2n, $\mathbb {R}$ )	n(2n+1)
U(n)	گروه یکانی: ماتریس‌های یکانی n×n مختلط.	Y	0	${\mathbb {Z} }$	$\mathbb {R} \times SU(n)$	برای n=1: یکریخت با $S^{1}$ . توجه: این یک گروه/جبر لی مختلط نیست.	u(n)	$n^{2}$
SU(n)	گروه یکانی خاص: ماتریس‌های یکانی n×n مختلط با دترمینان 1.	Y	0	0		توجه: این گروه/جبر لی مختلط نیست.	su(n)	n²−1