از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
در تعریف این توابع، منحنی سمت راست هذلولی متساوی‌الساقین را در نظر می‌گیریم که در این صورت داریم: x = cosh a و y = sinh a و در یک رابطه کلی خواهیم داشت:
cosh
2
x
−
sinh
2
x
=
1
{\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1}
توابع هُذلولوی ، هُذلولی ، توابع هیپربولیک یا توابع هایپربولیک (به فرانسوی : hyperbolique توابع پرکاربرد در ریاضیات می‌باشند که روابط حاکم بر آنها شبیه مثلثات است، با این تفاوت که خطوط مثلثاتی با توجه به دایره‌ای که شعاع آن واحد می‌باشد تعریف می‌شوند، ولی توابع هذلولوی (هذلولی) با توجه به هذلولی متساوی‌الساقین تعریف می‌گردند. از تابع‌های پایه‌ای آن sinh (خوانده می‌شود: سینوس هذلولوی یا هایپربولیک) و cosh (کسینوس هذلولوی) هستند که دیگر توابع را مانند tanh (تانژانت هذلولوی) می‌سازند. این توابع در انتگرالها ، معادلات دیفرانسیل خطی و همچنین معادله لاپلاس بسیار ظاهر می‌شوند. همانند توابع مثلثاتی که دارای معکوس‌اند، این توابع نیز دارای معکوس‌اند و با پیش‌وندهای arc نمایش داده می‌شوند. مانند: arcsinh
توابع هایپربولیک برای توصیف حرکت موج در اجسام کشسان ، شکل خطوط انتقال نیروی برق، توزیع دما در پره‌های فلزی که لوله‌های داغ را سرد می‌کنند، خم‌های تعقیب و هندسهٔ نظریهٔ نسبیت عام به کار می‌روند.
توابع هایپربولیک از این قراراند:
sinh, cosh و tanh csch , sech and coth
sinh
x
=
e
x
−
e
−
x
2
{\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}
cosh
x
=
e
x
+
e
−
x
2
{\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}
tanh
x
=
sinh
x
cosh
x
=
e
x
−
e
−
x
2
e
x
+
e
−
x
2
=
e
x
−
e
−
x
e
x
+
e
−
x
=
e
2
x
−
1
e
2
x
+
1
{\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}{\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}}
coth
x
=
cosh
x
sinh
x
=
e
x
+
e
−
x
2
e
x
−
e
−
x
2
=
e
x
+
e
−
x
e
x
−
e
−
x
=
e
2
x
+
1
e
2
x
−
1
{\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}{\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}}
sech
x
=
1
cosh
x
=
2
e
x
+
e
−
x
{\displaystyle \operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}}
csch
x
=
1
sinh
x
=
2
e
x
−
e
−
x
{\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}}
رابطهٔ توابع هایپربولیک با توابع مثلثلتی چنین است:
sinh
x
=
−
i
sin
i
x
{\displaystyle \sinh x=-{\rm {i}}\sin {\rm {i}}x\!}
cosh
x
=
cos
i
x
{\displaystyle \cosh x=\cos {\rm {i}}x\!}
tanh
x
=
−
i
tan
i
x
{\displaystyle \tanh x=-{\rm {i}}\tan {\rm {i}}x\!}
coth
x
=
i
cot
i
x
{\displaystyle \coth x={\rm {i}}\cot {\rm {i}}x\!}
sech
x
=
sec
i
x
{\displaystyle \operatorname {sech} \,x=\sec {{\rm {i}}x}\!}
csch
x
=
i
csc
i
x
{\displaystyle \operatorname {csch} \,x={\rm {i}}\,\csc \,{\rm {i}}x\!}
که در آن i یکهٔ موهومی با تعریف i ۲ = −۱ است.
c
o
s
h
x
{\displaystyle coshx}
s
e
c
h
x
{\displaystyle sechx}
زوج و بقیه فرد هستند:
sinh
(
−
x
)
=
−
sinh
x
cosh
(
−
x
)
=
cosh
x
tanh
(
−
x
)
=
−
tanh
x
coth
(
−
x
)
=
−
coth
x
sech
(
−
x
)
=
sech
x
csch
(
−
x
)
=
−
csch
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(-x)&=-\sinh x\\\cosh(-x)&=\cosh x\\\tanh(-x)&=-\tanh x\\\coth(-x)&=-\coth x\\\operatorname {sech} (-x)&=\operatorname {sech} x\\\operatorname {csch} (-x)&=-\operatorname {csch} x\end{aligned}}}
همچنین داریم:
arsech
x
=
arcosh
1
x
arcsch
x
=
arsinh
1
x
arcoth
x
=
artanh
1
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} x&=\operatorname {arcosh} {\frac {1}{x}}\\\operatorname {arcsch} x&=\operatorname {arsinh} {\frac {1}{x}}\\\operatorname {arcoth} x&=\operatorname {artanh} {\frac {1}{x}}\end{aligned}}}
متناظر با روابط مثلثاتی داریم:
cosh
2
x
−
sinh
2
x
=
1
{\textstyle {\begin{aligned}\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1\\\end{aligned}}}
sech
2
x
=
1
−
tanh
2
x
csch
2
x
=
coth
2
x
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sech} ^{2}x&=1-\tanh ^{2}x\\\operatorname {csch} ^{2}x&=\coth ^{2}x-1\\\end{aligned}}}
مجموع دو عبارت:
cosh
(
x
+
y
)
=
sinh
x
sinh
y
+
cosh
x
cosh
y
sinh
(
x
+
y
)
=
cosh
x
sinh
y
+
sinh
x
cosh
y
{\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(x+y)&=\sinh x\sinh y+\cosh x\cosh y\\\sinh(x+y)&=\cosh x\sinh y+\sinh x\cosh y\end{aligned}}}
مشخصاً
cosh
(
2
x
)
=
sinh
2
x
+
cosh
2
x
=
2
sinh
2
x
+
1
=
2
cosh
2
x
−
1
sinh
(
2
x
)
=
2
sinh
x
cosh
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(2x)&=\sinh ^{2}{x}+\cosh ^{2}{x}=2\sinh ^{2}x+1=2\cosh ^{2}x-1\\\sinh(2x)&=2\sinh x\cosh x\end{aligned}}}
مجموع و تفاضل
c
o
s
h
x
{\displaystyle coshx}
s
i
n
h
x
{\displaystyle sinhx}
cosh
x
+
sinh
x
=
e
x
cosh
x
−
sinh
x
=
e
−
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\cosh x+\sinh x&=e^{x}\\\cosh x-\sinh x&=e^{-x}\end{aligned}}}
a
r
c
s
i
n
h
x
=
sinh
−
1
x
=
ln
(
x
+
x
2
+
1
)
{\displaystyle arcsinhx=\sinh ^{-1}x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}
a
r
c
c
o
s
h
x
=
cosh
−
1
x
=
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
;
x
≥
1
{\displaystyle arccoshx=\cosh ^{-1}x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1}
a
r
c
t
a
n
h
x
=
tanh
−
1
x
=
1
2
ln
(
1
+
x
1
−
x
)
;
|
x
|
<
1
{\displaystyle arctanhx=\tanh ^{-1}x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right);\left|x\right|<1}
d
d
x
sinh
x
=
cosh
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sinh x=\cosh x\,}
d
d
x
cosh
x
=
sinh
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cosh x=\sinh x\,}
d
d
x
tanh
x
=
1
−
tanh
2
x
=
sech
2
x
=
1
/
cosh
2
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tanh x=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x=1/\cosh ^{2}x\,}
d
d
x
coth
x
=
1
−
coth
2
x
=
−
csch
2
x
=
−
1
/
sinh
2
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\coth x=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-1/\sinh ^{2}x\,}
d
d
x
csch
x
=
−
coth
x
csch
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ \operatorname {csch} \,x=-\coth x\ \operatorname {csch} \,x\,}
d
d
x
sech
x
=
−
tanh
x
sech
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ \operatorname {sech} \,x=-\tanh x\ \operatorname {sech} \,x\,}
d
d
x
arsinh
x
=
1
x
2
+
1
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arsinh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}}
d
d
x
arcosh
x
=
1
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcosh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
d
d
x
artanh
x
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {artanh} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}}
d
d
x
arcsch
x
=
−
1
|
x
|
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcsch} \,x=-{\frac {1}{\left|x\right|{\sqrt {1+x^{2}}}}}}
d
d
x
arsech
x
=
−
1
x
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arsech} \,x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}}
d
d
x
arcoth
x
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcoth} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}}
برای فهرست کاملی از این انتگرالها، فهرست انتگرال‌های تابع‌های هیپربولیک را ببینید.
∫
sinh
(
a
x
)
d
x
=
a
−
1
cosh
(
a
x
)
+
C
∫
cosh
(
a
x
)
d
x
=
a
−
1
sinh
(
a
x
)
+
C
∫
tanh
(
a
x
)
d
x
=
a
−
1
ln
(
cosh
(
a
x
)
)
+
C
∫
coth
(
a
x
)
d
x
=
a
−
1
ln
(
sinh
(
a
x
)
)
+
C
∫
sech
(
a
x
)
d
x
=
a
−
1
arctan
(
sinh
(
a
x
)
)
+
C
∫
csch
(
a
x
)
d
x
=
a
−
1
ln
(
tanh
(
a
x
2
)
)
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \sinh(ax)\,dx&=a^{-1}\cosh(ax)+C\\\int \cosh(ax)\,dx&=a^{-1}\sinh(ax)+C\\\int \tanh(ax)\,dx&=a^{-1}\ln(\cosh(ax))+C\\\int \coth(ax)\,dx&=a^{-1}\ln(\sinh(ax))+C\\\int \operatorname {sech} (ax)\,dx&=a^{-1}\arctan(\sinh(ax))+C\\\int \operatorname {csch} (ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left(\tanh \left({\frac {ax}{2}}\right)\right)+C\end{aligned}}}
∫
d
u
a
2
+
u
2
=
sinh
−
1
(
u
a
)
+
C
∫
d
u
u
2
−
a
2
=
cosh
−
1
(
u
a
)
+
C
∫
d
u
a
2
−
u
2
=
a
−
1
tanh
−
1
(
u
a
)
+
C
;
u
2
<
a
2
∫
d
u
a
2
−
u
2
=
a
−
1
coth
−
1
(
u
a
)
+
C
;
u
2
>
a
2
∫
d
u
u
a
2
−
u
2
=
−
a
−
1
sech
−
1
(
u
a
)
+
C
∫
d
u
u
a
2
+
u
2
=
−
a
−
1
csch
−
1
|
u
a
|
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}&=\sinh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {\frac {du}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}&=\cosh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}&=a^{-1}\tanh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}<a^{2}\\\int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}&=a^{-1}\coth ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}>a^{2}\\\int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}&=-a^{-1}\operatorname {sech} ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}&=-a^{-1}\operatorname {csch} ^{-1}\left|{\frac {u}{a}}\right|+C\end{aligned}}}
