توابع نویل تتا

توابع نویل تتا نام خود را از اریک هرولد نویل گرفته‌است، این توابع به این شکل تعریف می‌شوند:

$\theta _{c}(z,m)={\frac {{\sqrt {2\pi }}\,q(m)^{1/4}}{m^{1/4}{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\sum _{k=0}^{\infty }(q(m))^{k(k+1)}\cos \left({\frac {(2k+1)\pi z}{2K(m)}}\right)$

$\theta _{d}(z,m)={\frac {\sqrt {2\pi }}{2{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\left(1+2\,\sum _{k=1}^{\infty }(q(m))^{k^{2}}\cos \left({\frac {\pi zk}{K(m)}}\right)\right)$

$\theta _{n}(z,m)={\frac {\sqrt {2\pi }}{2(1-m)^{1/4}{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\left(1+2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}(q(m))^{k^{2}}\cos \left({\frac {\pi zk}{K(m)}}\right)\right)$

$\theta _{s}(z,m)={\frac {{\sqrt {2\pi }}\,q(m)^{1/4}}{m^{1/4}(1-m)^{1/4}{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(q(m))^{k(k+1)}\sin \left({\frac {(2k+1)\pi z}{2K(m)}}\right)$

در اینجا $K(m)$ انتگرال بیوی کامل نوع اول است، $K'(m)=K(1-m)$ و $q(m)=e^{-\pi K'(m)/K(m)}$ نومِ بیضوی است.

ارتباط با سایر توابع

توابع نویل تتا می‌توانند توسط توابع ژاکوبی تتا هم نمایش داده شوند

$\theta _{s}(z|\tau )=\theta _{23}(0|\tau )\theta _{1}(z'|\tau )/\theta '_{1}(0|\tau )$

$\theta _{c}(z|\tau )=\theta _{2}(z'|\tau )/\theta _{2}(0|\tau )$

$\theta _{n}(z|\tau )=\theta _{4}(z'|\tau )/\theta _{4}(0|\tau )$

$\theta _{d}(z|\tau )=\theta _{3}(z'|\tau )/\theta _{3}(0|\tau )$

در اینجا $z'=z/\theta _{3}(0|\tau )^{2}$.

توابع نویل تتا با توابع بیضوی ژاکوبی مرتبط هستند. اگر $pq(u,m)$ یک تابع بیضوی ژاکوبی باشد آنگاه:

$\operatorname {pq} (u,m)={\frac {\theta _{p}(u,m)}{\theta _{q}(u,m)}}$

مثال

اگر $m=0.3$ و $z=2.5$ را در تعاریف تابع نویل تتا جایگذاری کنیم به مقادیر پایین می‌رسیم.

• $\theta _{c}(2.5,0.3)=-0.65900466676738154967$
• $\theta _{d}(2.5,0.3)=0.95182196661267561994$
• $\theta _{n}(2.5,0.3)=1.0526693354651613637$
• $\theta _{s}(2.5,0.3)=0.82086879524530400536$

تقارن

• $\theta _{c}(z,m)=\theta _{c}(-z,m)$
• $\theta _{d}(z,m)=\theta _{d}(-z,m)$
• $\theta _{n}(z,m)=\theta _{n}(-z,m)$
• $\theta _{s}(z,m)=-\theta _{s}(-z,m)$

بردارهای سه بعدی