از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
توابع تکین دسته ای از توابع ناپیوسته هستند که دارای نقاط تکین هستند. به این معنا که مثلاً در این نقاط تکین ناپیوسته هستند. توابع تکین در علم ریاضیات با عناوینی همچون توابع تعمیم یافته و تئوری توزیع، به‌طور گسترده‌ای مورد مطالعه قرار گرفته‌اند.[ ۱] [ ۲] [ ۳]
⟨
⟩
{\displaystyle \langle \rangle }
مثلاً می‌نویسیم
⟨
x
−
a
⟩
n
{\displaystyle \langle x-a\rangle ^{n}}
عدد صحیح است. نماد
⟨
⟩
{\displaystyle \langle \rangle }
n
⟨
x
−
a
⟩
n
{\displaystyle \langle x-a\rangle ^{n}}
<
0
{\displaystyle <0}
d
|
n
+
1
|
d
x
|
n
+
1
|
δ
(
x
−
a
)
{\displaystyle {\frac {d^{|n+1|}}{dx^{|n+1|}}}\delta (x-a)\,}
-2
d
d
x
δ
(
x
−
a
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\delta (x-a)\,}
-1
δ
(
x
−
a
)
{\displaystyle \delta (x-a)\,}
0
H
(
x
−
a
)
{\displaystyle H(x-a)\,}
1
(
x
−
a
)
H
(
x
−
a
)
{\displaystyle (x-a)H(x-a)\,}
2
(
x
−
a
)
2
H
(
x
−
a
)
{\displaystyle (x-a)^{2}H(x-a)}
≥
0
{\displaystyle \geq 0}
(
x
−
a
)
n
H
(
x
−
a
)
{\displaystyle (x-a)^{n}H(x-a)}
به طوری که δ(x)، تابع دلتای دیراک یا همان ضربه واحد (تابع ضربه) است. مشتق اول تابع δ(x) تابع واحد مضاعف نامیده می‌شود. تابع H(x) تابع هوی ساید پله واحد است:
H
(
x
)
=
{
0
,
x
<
0
1
,
x
>
0
{\displaystyle H(x)={\begin{cases}0,&x<0\\1,&x>0\end{cases}}}
از آنجا که مقدار یک نقطه در انتگرال گیری تأثیر ندارد، مقدار تابع هوی‌ساید در صفر قراردادی است. همچنین
⟨
x
−
a
⟩
1
{\displaystyle \langle x-a\rangle ^{1}}
انتگرال‌گیری از
⟨
x
−
a
⟩
n
{\displaystyle \langle x-a\rangle ^{n}}
x
=
a
{\displaystyle x=a}
0 شود.
∫
⟨
x
−
a
⟩
n
d
x
=
{
⟨
x
−
a
⟩
n
+
1
,
n
≤
0
⟨
x
−
a
⟩
n
+
1
n
+
1
,
n
≥
0
{\displaystyle \int \langle x-a\rangle ^{n}dx={\begin{cases}\langle x-a\rangle ^{n+1},&n\leq 0\\{\frac {\langle x-a\rangle ^{n+1}}{n+1}},&n\geq 0\end{cases}}}
خیز یک تیر با تکیه گاه ساده با سطح مقطع و مدول الاستیسیته ثابت همان‌طور که در شکل نشان داده شده، با استفاده از تئوری تیر اویلر – برنولی قابل محاسبه است. در این‌جا از قراردادی برای علامت استفاده می‌کنیم که طبق آن نیروهای رو به پایین و گشتاور شکم دهنده مثبت اند.
توزیع بار:
w
=
−
3
N
⟨
x
−
0
⟩
−
1
+
6
N
m
−
1
⟨
x
−
2
m
⟩
0
−
9
N
⟨
x
−
4
m
⟩
−
1
{\displaystyle w=-3N\langle x-0\rangle ^{-1}\ +\ 6Nm^{-1}\langle x-2m\rangle ^{0}\ -\ 9N\langle x-4m\rangle ^{-1}\,}
نیروی برشی :
S
=
∫
w
d
x
{\displaystyle S=\int wdx}
S
=
−
3
N
⟨
x
−
0
⟩
0
+
6
N
m
−
1
⟨
x
−
2
m
⟩
1
−
9
N
⟨
x
−
4
m
⟩
0
{\displaystyle S=-3N\langle x-0\rangle ^{0}\ +\ 6Nm^{-1}\langle x-2m\rangle ^{1}\ -\ 9N\langle x-4m\rangle ^{0}\,}
گشتاور خمشی :
M
=
−
∫
S
d
x
{\displaystyle M=-\int Sdx}
M
=
3
N
⟨
x
−
0
⟩
1
−
3
N
m
−
1
⟨
x
−
2
m
⟩
2
+
9
N
⟨
x
−
4
m
⟩
1
{\displaystyle M=3N\langle x-0\rangle ^{1}\ -\ 3Nm^{-1}\langle x-2m\rangle ^{2}\ +\ 9N\langle x-4m\rangle ^{1}\,}
شیب:
u
′
=
1
E
I
∫
M
d
x
{\displaystyle u'={\frac {1}{EI}}\int Mdx}
از آنجایی که شیب در
x
=
0
{\displaystyle x=0}
u
′
=
1
E
I
(
3
2
N
⟨
x
−
0
⟩
2
−
1
N
m
−
1
⟨
x
−
2
m
⟩
3
+
9
2
N
⟨
x
−
4
m
⟩
2
+
c
)
{\displaystyle u'={\frac {1}{EI}}\left({\frac {3}{2}}N\langle x-0\rangle ^{2}\ -\ 1Nm^{-1}\langle x-2m\rangle ^{3}\ +\ {\frac {9}{2}}N\langle x-4m\rangle ^{2}\ +\ c\right)\,}
خیز:
u
=
∫
u
′
d
x
{\displaystyle u=\int u'dx}
u
=
1
E
I
(
1
2
N
⟨
x
−
0
⟩
3
−
1
4
N
m
−
1
⟨
x
−
2
m
⟩
4
+
3
2
N
⟨
x
−
4
m
⟩
3
+
c
x
)
{\displaystyle u={\frac {1}{EI}}\left({\frac {1}{2}}N\langle x-0\rangle ^{3}\ -\ {\frac {1}{4}}Nm^{-1}\langle x-2m\rangle ^{4}\ +\ {\frac {3}{2}}N\langle x-4m\rangle ^{3}\ +\ cx\right)\,}
شرط مرزی
u
=
0
{\displaystyle u=0}
x
=
4
m
{\displaystyle x=4m}
c
=
−
7
N
m
2
{\displaystyle c=-7Nm^{2}}
↑ Zemanian, A. H. (1965), Distribution Theory and Transform Analysis , McGraw-Hill Book Company ↑ Hoskins, R. F. (1979), Generalised Functions , Halsted Press ↑ Lighthill, M.J. (1958), Fourier Analysis and Generalized Functions , Cambridge University Press
