تار (ریاضیات)

اصطلاح تار یا فیبر (به انگلیسی: Fiber) در ریاضیات، براساس زمینه کاربردی می‌تواند دو معنا داشته باشد:

1. در نظریه طبیعی مجموعه‌ها، تار برای عنصری مثل y در مجموعه Y تحت نگاشت $f\colon X\rightarrow Y$ برابر تصویر وارون مجموعه تک‌عضوی $\{y\}$ تحت f است.
2. در هندسه جبری، مفهوم یک تار از یک ریخت (مورفیسم) از اسکیم‌ها را باید به صورت دقیق‌تر تعریف کرد، چرا که در حالت کلی، هر نقطه لزوماً بسته نیست.

تعاریف

تار در نظریه طبیعی مجموعه‌ها

فرض کنید که f: X → Y یک نگاشت باشد. تار یک عنصر $y\in Y$ که معمولاً توسط $f^{-1}(y)$ نشان داده می‌شود، به صورت $$f^{-1}(y):=\{x\in X\mid f(x)=y\}.$$ تعریف می‌شود؛ یعنی، تار y تحت f برابر مجموعه عناصر در دامنه f است که به y نگاشت داده شده‌است.

تصویر وارون یا پیش‌تصویر $f^{-1}(A)$ مفهوم تار را به زیرمجموعه‌های $A\subseteq Y$ از هم‌دامنه تعمیم می‌دهد. نمادگذاری $f^{-1}(y)$ هنوز به تار ارجاع دارد، زیرا تار یک عنصر y برابر پیش‌تصویر مجموعه تک‌عضوی $\{y\}$ است، یعنی $f^{-1}(\{y\})$. این موضوع به این معنی است که، «تار» را می‌توان یک تابع از هم‌دامنه به مجموعه توانی دامنه در نظر گرفت: $f^{-1}:Y\to {\mathcal {P}}(X)$ درحالیکه پیش‌تصویر این موضوع را به یک تابع بین مجموعه‌های توانی تعمیم می‌دهد: $f^{-1}:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)$.

اگر f به اعداد حقیقی نگاشت داشته باشد، در اینصورت $y\in \mathbb {R}$ یک عدد ساده است، و آنوقت تار $f^{-1}(y)$ یک مجموعه تراز از y تحت f نامیده می‌شود: $L_{y}(f)$. اگر f یک تابع پیوسته باشد و y در تصویر f باشد، آنوقت مجموعه تراز y تحت f در ۲بعد یک منحنی است، و در ۳بعد یک رویه است، و به صورت کلی‌تر ابررویه‌ای از بعد d − 1 است.

تار در هندسه جبری

در هندسه جبری، اگر f: X → Y یک ریخت از اسکیم‌ها باشد، تار یک نقطه p در Y برابر ضرب تاری از اسکیم‌ها است

$X\times _{Y}\operatorname {Spec} k(p)$

که در آن $k(p)$ برابر میدان باقیمانده در p است.

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Fiber (mathematics)». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۱ ژانویهٔ ۲۰۲۲.

• Lee, John M. (2011). Introduction to Topological Manifolds (2nd ed.). Springer Verlag. ISBN 978-1-4419-7940-7.