تابع نمایی کشیده

شکل ۱: نمایش سازگاری نمایی کشیده (با β=۰٫۵۲) با منحنی مستر تجربی. برای مقایسه، حداقل جذر نماهای مفرد و دوگانه نمایش داده شده‌است. این داده‌ها، ناهمسان‌گردی برای آنتراسن در پلی‌ایزوبوتن در چندین جرم مولکولی هستند. این نمودارها برای همپوشانی زمان تقسیم شده (t) با ثابت زمانی مشخصه متناظر ساخته شده‌اند.

تابع نمایی کشیده (به انگلیسی: Stretched exponential function) که به این صورت تعریف می‌شود:

$f_{\beta }(t)=e^{-t^{\beta }}$

با قرار دادن یک توزیع توانی کسری در یک تابع نمایی به دست می‌آید. در بیشتر کاربردها، این تابع فقط برای شناسه (آرگومان) t بین ۰ و +∞ معنی دار است. با β = ۱ تابع نمایی معمولی بازیابی می‌شود. هنگامیکه نمای کشیدگی β بین ۰ و ۱ قرار دارد، گراف log f دربرابر t به صورت مشخصه‌ای کشیده می‌شود، و نام تابع از این موضوع گرفته شده‌است. تابع نمایی فشرده (با β> ۱) دارای اهمیت کاربردی کمتری است، اما یک استثنا وجود دارد که آن β = ۲ است، و توزیع نرمال به دست می‌دهد.

در ریاضیات، به نمایی کشیده، توزیع ویبول تجمعی مکمل نیز می‌گویند. نمایی کشیده همچنین تابع مشخصه، در اصل تبدیل فوریه، برای توزیع ایستا-آلفا متقارن لیوی می‌باشد.

در فیزیک، از تابع نمایی کشیده به عنوان توصیف پدیدارشناختی واهلش در سامانه‌های بی‌نظم استفاده می‌شود. این تابع اولین بار توسط رودولف کلراوش در سال ۱۸۵۴ برای توصیف تخلیه الکتریکی یک خازن معرفی شد؛^[۱] از این رو به آن تابع کلراوش هم می‌گویند. در سال ۱۹۷۰، جی. ویلیامز و دی.سی. واتس از تبدیل فوریهٔ نمایی کشیده استفاده کردند تا طیف‌های دی‌الکتریک پلیمرها را توصیف کنند؛^[۲] در این زمینه، نمایی کشیده یا تبدیل فوریه آن، تابع کهلراوش – ویلیامز – وات (KWW) هم نام دارد.

در کاربردهای پدیدارشناسانه، این موضوع مشخص نیست که آیا از تابع نمایی کشیده، یا برای توصیف تابع توزیع دیفرانسیل یا توزیع انتگرال استفاده شود، یا برای هیچ‌کدام. در هر حالت، به زوال مجانبی مشابهی می‌رسیم، اما پیش‌فاکتور توزیع توانی آن متفاوت است، که سازگاری را مبهم تر از توانی‌های ساده می‌کند. در حالت‌های خاص،^[۳]^[۴]^[۵]^[۶] می‌توان نشان داد که زوال مجانبی یک نمای کشیده‌است، اما پیش‌فاکتور معمولاً یک توان بی‌ربط است.

پانویس

↑ Kohlrausch, R. (1854). "Theorie des elektrischen Rückstandes in der Leidner Flasche". Annalen der Physik und Chemie. 91 (1): 56–82, 179–213. Bibcode:1854AnP...167...56K. doi:10.1002/andp.18541670103..
↑ Williams, G. & Watts, D. C. (1970). "Non-Symmetrical Dielectric Relaxation Behavior Arising from a Simple Empirical Decay Function". Transactions of the Faraday Society. 66: 80–85. doi:10.1039/tf9706600080..
↑ Donsker, M. D. & Varadhan, S. R. S. (1975). "Asymptotic evaluation of certain Markov process expectations for large time". Comm. Pure Appl. Math. 28: 1–47. doi:10.1002/cpa.3160280102.
↑ Takano, H. and Nakanishi, H. and Miyashita, S. (1988). "Stretched exponential decay of the spin-correlation function in the kinetic Ising model below the critical temperature". Phys. Rev. B. 37 (7): 3716–3719. Bibcode:1988PhRvB..37.3716T. doi:10.1103/PhysRevB.37.3716. PMID 9944981.{{cite journal}}: نگهداری یادکرد:نام‌های متعدد:فهرست نویسندگان (link)
↑ Shore, John E. and Zwanzig, Robert (1975). "Dielectric relaxation and dynamic susceptibility of a one-dimensional model for perpendicular-dipole polymers". The Journal of Chemical Physics. 63 (12): 5445–5458. Bibcode:1975JChPh..63.5445S. doi:10.1063/1.431279.{{cite journal}}: نگهداری یادکرد:نام‌های متعدد:فهرست نویسندگان (link)
↑ Brey, J. J. and Prados, A. (1993). "Stretched exponential decay at intermediate times in the one-dimentional Ising model at low temperatures". Physica A. 197 (4): 569–582. Bibcode:1993PhyA..197..569B. doi:10.1016/0378-4371(93)90015-V.{{cite journal}}: نگهداری یادکرد:نام‌های متعدد:فهرست نویسندگان (link)

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Stretched exponential function». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۱۹ اکتبر ۲۰۲۰.

[1] Kohlrausch, R. (1854). "Theorie des elektrischen Rückstandes in der Leidner Flasche". Annalen der Physik und Chemie. 91 (1): 56–82, 179–213. Bibcode:1854AnP...167...56K. doi:10.1002/andp.18541670103..

[2] Williams, G. & Watts, D. C. (1970). "Non-Symmetrical Dielectric Relaxation Behavior Arising from a Simple Empirical Decay Function". Transactions of the Faraday Society. 66: 80–85. doi:10.1039/tf9706600080..

[3] Donsker, M. D. & Varadhan, S. R. S. (1975). "Asymptotic evaluation of certain Markov process expectations for large time". Comm. Pure Appl. Math. 28: 1–47. doi:10.1002/cpa.3160280102.

[4] Takano, H. and Nakanishi, H. and Miyashita, S. (1988). "Stretched exponential decay of the spin-correlation function in the kinetic Ising model below the critical temperature". Phys. Rev. B. 37 (7): 3716–3719. Bibcode:1988PhRvB..37.3716T. doi:10.1103/PhysRevB.37.3716. PMID 9944981.{{cite journal}}: نگهداری یادکرد:نام‌های متعدد:فهرست نویسندگان (link)

[5] Shore, John E. and Zwanzig, Robert (1975). "Dielectric relaxation and dynamic susceptibility of a one-dimensional model for perpendicular-dipole polymers". The Journal of Chemical Physics. 63 (12): 5445–5458. Bibcode:1975JChPh..63.5445S. doi:10.1063/1.431279.{{cite journal}}: نگهداری یادکرد:نام‌های متعدد:فهرست نویسندگان (link)

[6] Brey, J. J. and Prados, A. (1993). "Stretched exponential decay at intermediate times in the one-dimentional Ising model at low temperatures". Physica A. 197 (4): 569–582. Bibcode:1993PhyA..197..569B. doi:10.1016/0378-4371(93)90015-V.{{cite journal}}: نگهداری یادکرد:نام‌های متعدد:فهرست نویسندگان (link)

[۱]

[۲]

[۳]

[۴]

[۵]

[۶]