بی‌نهایت مطلق

بی‌نهایت مطلق در ریاضیات به اعدادی به‌شکل ${\frac {K}{0}}$ به‌طوری که $k\neq 0$ باشد می‌گویند. آن را با نماد $\infty$ نمایش می‌دهند.

مثلاً: ${\frac {1}{0}}=\infty$

اعمال ریاضی بر روی بی‌نهایت مطلق

${\infty }+{\infty }={\frac {0}{0}}$

${\infty }-{\infty }={\frac {0}{0}}$

${\frac {\infty }{\infty }}={\frac {0}{0}}$

${\infty }.{\infty }={\infty }$

${\infty }.K={\infty }$

${\infty }+K={\infty }$

${\frac {1}{\infty }}=0$

شکل‌های دیگر بی‌نهایت مطلق

$log(0)={\infty }$

$0^{-1}={\infty }$

$(-1)!={\infty }$

$tan({\frac {\pi }{2}})={\infty }$

بی‌نهایت مطلق و تناقض‌های ریاضی

لئونارد اویلر، ریاضی‌دان سوئیسی در قرن ۱۸ نوشت:

$1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}.$

اثبات اویلر به‌شکل زیر بود:

${\begin{array}{rclllll}4s&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )\\&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+(1-2)+(3-4+5-6\cdots )\\&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}-1+(3-4+5-6\cdots )\\&=&1+&(1-2+3-4+\cdots )&{}+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+(3-4+5-6\cdots )\\&=&1+[&(1-2-2+3)&{}+(-2+3+3-4)&{}+(3-4-4+5)&{}+(-4+5+5-6)+\cdots ]\\&=&1+[&0+0+0+0+\cdots ]\\4s&=&1\end{array}}$

اگر تساوی بالا درست باشد، آنگاه:

$1-1+1-1+\cdots ={\frac {1}{2}}$

همان‌طور که می‌بینید، دنبالهٔ بالا فقط اعداد ۰ و ۱ را تولید می‌کند؛ پس چطور ممکن است که به عدد ${\frac {1}{2}}$ همگرا باشد؟

تساوی بالا نوعی پارادوکس است؛ زیرا دنبالهٔ بالا واگراست.

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Real projective line». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.