بهینهسازی مخروطی
بهینهسازی مخروطی شاخهای از بهینهسازی محدب است که هدف آن کمینه کردن توابع محدب در فضای مشترک زیر فضاهای همگَر و مخروطهای محدب است.[۱] بهینهسازی مخروطی شامل برخی از نمونههای شناخته شده مسائل بهینهسازی محدب میشود، مسائلی مانند برنامهنویسی خطی و برنامهریزی نیمهمعین.[۲]
تعریف[ویرایش]
با توجه به یک فضای بردار حقیقی ، و یک تابع محدب با مقادیر حقیقی که برای مخروط محدب تعریف شدهاست و یک زیرفضای همگر که با محدودیتهای مشخص میشود، یک مسئله بهینهسازی مخروطی پیداکردن یک نقط در است به گونهای که تابع را کمینه کند.[۳]
مثالهای مخروط شامل متعامد کنجِ ، ماتریسهای مثبت معین و مخروطهای درجه دومِ میشود. تابع معمولاً خطی است که باعث میشود مسئله بهینهسازی مخروطی به برنامهریزی خطی، برنامهریزی نیمهمعین، یا برنامهریزی مخروطی درجه دوم تقلیل پیدا کند.[۳]
دوگانگی[ویرایش]
بعضی موارد خاص مسائل بهینهسازی مخروطی، فرمت دوگانه مشخصی دارند.[۳]
مخروطی LP[ویرایش]
دوگانه برنامه خطی مخروطی[۳]
- minimize
- subject to
برابر است با
- maximize
- subject to
در اینجا دوگانه مخروط است.
در حالتی که دوگانگی ضعیف در برنامهنویسی خطی مخروطی وجود دارد، دوگانگی قوی لزوماً برقرار نیست.[۴]
بهینهسازی نیمه معین[ویرایش]
دوگانه یک مسئله بهینهسازی نیمه معین در شکل نابرابری پایین[۳]
- minimize
- مشروط بر اینکه باشد.
برابر است با
- maximize
- مشروط بر اینکه و باشد.
منابع[ویرایش]
- ↑ Proceedings of the International Congress of Mathematicians: Madrid, August 22-30, 2006 (به انگلیسی). Zürich: European Mathematical Society. ©2006-©2007. OCLC 74809272.
{{cite book}}
: Check date values in:|تاریخ=
(help) - ↑ "An introduction to convex optimization for communications and signal processing". IEEE Journal on Selected Areas in Communications (به انگلیسی). 24 (8): 1426–1438. doi:10.1109/JSAC.2006.879347. ISSN 0733-8716.
- ↑ ۳٫۰ ۳٫۱ ۳٫۲ ۳٫۳ ۳٫۴ Zhang, Shuzhong; Sturm, J. F.; Luo, Z. Q. (1997). "Duality Results for Conic Convex Programming". Econometric Institute Research Papers (به انگلیسی). Archived from the original on 27 February 2021. Retrieved 12 March 2019.
- ↑ Pataki, Gabor (2013-01-31). "Strong duality in conic linear programming: facial reduction and extended duals". arXiv:1301.7717 [math].
پیوند به بیرون[ویرایش]
- Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven (2004). Convex Optimization (pdf). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83378-3. Retrieved October 15, 2011.
- نرم افزار MOSEK قادر به حل مشکلات بهینهسازی مخروطی است.