بسط یک جمله در منطق محمول ها

بسط (به انگلیسی: expansion) راهی برای تصور شهودی و بیان سورهای یک جمله است. به بیان دیگر، سورها را می‌توان بیان کوتاهی از جمله‌هایی بلند (یا کوتاه) تصور کرد.

بسط سور عمومی

در یک جهان محدود (مثلاً یک جهان با چهار فرد)، می‌توان سور عمومی را بیانی کوتاه از جمله‌های بلند (یا کوتاه) دارای «ترکیب عطفی» تفسیر کرد. به عنوان مثال جمله‌ی:

($\forall \;x$) $\mathrm {F} x$

بیانی کوتاه از «ترکیب عطفی» زیر، در یک جهان چهار فردی است:

($\mathrm {F} a$ $\And$ $\mathrm {F} b$ ) $\And$ ($\mathrm {F} c$ $\And$ $\mathrm {F} d$ )

به عبارت دیگر، وقتی جهان ما تنها دارای چهار فرد $\mathrm {a}$، $\mathrm {b}$، $\mathrm {c}$ و $\mathrm {d}$ باشد، تقریباً می‌توان گفت که جمله‌ی: $\mathrm {F} x$ ($\forall \;x$)، بیانگر آن است که هر کدام از این چهار فرد، دارای ویژگی $\mathrm {F}$ هستند(یعنی: $\mathrm {F} a$ و $\mathrm {F} b$ و $\mathrm {F} c$ و $\mathrm {F} d$).؛ زیرا سور عمومی بیانگر یک ویژگی برای تمامی افراد دامنه‌ی سخن است که در اینجا تنها چهار فرد دارد. لذا به ترکیب عطفی فوق، بسط جمله‌ی: $\mathrm {F} x$ ($\forall \;x$)، گفته می‌شود.

بسط سور وجودی

در یک جهان محدود (مثلاً یک جهان با چهار فرد)، می‌توان سور وجودی را بیانی کوتاه از جمله‌های بلند (یا کوتاه) دارای «ترکیب فصلی» تفسیر کرد. به عنوان مثال جمله‌ی:

($\exists \;x$) $\mathrm {F} x$

بیانی کوتاه از «ترکیب فصلی» زیر، در یک جهان چهار فردی است:

($\mathrm {F} a$ $\vee \;$ $\mathrm {F} b$ ) $\vee \;$ ($\mathrm {F} c$ $\vee \;$ $\mathrm {F} d$ )

به عبارت دیگر، وقتی جهان ما تنها دارای چهار فرد $\mathrm {a}$، $\mathrm {b}$، $\mathrm {c}$ و $\mathrm {d}$ باشد، تقریباً می‌توان گفت که جمله‌ی: $\mathrm {F} x$ ($\exists \;x$)، بیانگر آن است که حتماً یکی از افراد این جهان دارای ویژگی $\mathrm {F}$ است و نه همه (یعنی: $\mathrm {F} a$ یا $\mathrm {F} b$ یا $\mathrm {F} c$ یا $\mathrm {F} d$). لذا به ترکیب فصلی فوق، بسط جمله‌ی: $\mathrm {F} x$ ($\exists \;x$)، گفته می‌شود.

استفاده از بسط برای اثبات عدم اعتبار یک استدلال

یکی از آسان‌ترین راه‌های اثبات عدم اعتبار یک استدلال در منطق محمول‌ها، استفاده از تعبیری با دامنه‌ی بسیار کوچک است؛ چون مادامی که افراد و اوصافی داشته باشیم که بتوان بر اساس آنها مقدمه‌ها را صادق و نتیجه را کاذب تعیین کرد، تفاوتی نمی‌کند که این اوصاف چه باشد. با استفاده از روش بسط، می‌توان ارزش مقدمه‌ها و نتیجه را به راحتی مشخص کرد و تعبیری یافت که با فرض صدق مقدمات، نتیجه کاذب باشد.. به عنوان مثال، استدلال زیر را که دارای دو مقدمه و یک نتیجه است در نظر بگیرید:

$\sim \;$ ($\exists \;x$) ($\sim \;$ $\mathrm {A} x$ $\And$ $\mathrm {B} x$)

($\exists \;x$) ($\mathrm {A} x$ $\And$ $\mathrm {C} x$)

$\therefore$ $\sim \;$ ($\forall \;x$) ($\mathrm {C} x$ $\supset$ $\sim \;$ $\mathrm {B} x$)

عدم اعتبار این استدلال را با فرض دامنه‌ای با دو فرد می‌توان نشان داد. این دو فرد را $\mathrm {a}$ و $\mathrm {b}$ در نظر می‌گیریم و مقدمه‌ها و نتیجه را بر اساس آنها بسط می‌دهیم. بسط مقدمه‌ی اول که دارای یک سور وجودی است عبارت است از:

$\sim \;$ [( $\sim \;$ $\mathrm {A} a$ $\And$ $\mathrm {B} a$ ) $\vee$ ( $\sim \;$ $\mathrm {A} b$ $\And$ $\mathrm {B} b$ ) ]

مقدمه‌ی دوم نیز دارای یک سور وجودی است و بسط آن عبارت است از:

( $\mathrm {A} a$ $\And$ $\mathrm {C} a$ ) $\vee$ ( $\mathrm {A} b$ $\And$ $\mathrm {C} b$ )

و در نهایت بسط نتیجه که دارای یک سور عمومی است، عبارت است از:

$\sim \;$ [( $\mathrm {C} a$ $\supset$ $\sim \;$ $\mathrm {B} a$ ) $\And$ ( $\mathrm {C} b$ $\supset$ $\sim \;$ $\mathrm {B} b$ ) ]

حال با توجه به نحوه‌ی ارزش‌دهی جملات و نسبت‌های بین آنها در منطق گزاره‌ها، هر یک از جملات را به گونه‌ای ارزش‌دهی می‌کنیم که دو مقدمه، صادق و نتیجه، کاذب باشد. مقدمه‌ی اول زمانی صادق است که $\sim \;$ صادق باشد؛ پس، $\vee$ باید در مقدمه‌ی اول کاذب باشد تا نقیض آن صادق گردد. مقدمه‌ی دوم نیز زمانی صادق است که $\vee$ صادق باشد. همچنین نتیجه زمانی کاذب خواهد بود که $\sim \;$ در نتیجه، کاذب باشد؛ پس، $\And$ در نتیجه باید صادق باشد تا نقیض آن صادق گردد.
توجه داشته باشید که T برابر با صادق و F برابر با کاذب است.

${\underset {\mathrm {T} }{\sim \;}}$ [( ${\underset {\mathrm {F} }{\sim \;}}$ ${\underset {\mathrm {T} }{\mathrm {A} a}}$ ${\underset {\mathrm {F} }{\And }}$ ${\underset {\mathrm {F} }{\mathrm {B} a}}$ ) ${\underset {\mathrm {F} }{\vee }}$ ( ${\underset {\mathrm {F} }{\sim \;}}$ ${\underset {\mathrm {T} }{\mathrm {A} b}}$ ${\underset {\mathrm {F} }{\And }}$ ${\underset {\mathrm {F} }{\mathrm {B} b}}$ ) ]

( ${\underset {\mathrm {T} }{\mathrm {A} a}}$ ${\underset {\mathrm {T} }{\And }}$ ${\underset {\mathrm {T} }{\mathrm {C} a}}$ ) ${\underset {\mathrm {T} }{\vee }}$ ( ${\underset {\mathrm {T} }{\mathrm {A} b}}$ ${\underset {\mathrm {T} }{\And }}$ ${\underset {\mathrm {T} }{\mathrm {C} b}}$ )

$\therefore$ ${\underset {\mathrm {F} }{\sim \;}}$ [( ${\underset {\mathrm {T} }{\mathrm {C} a}}$ ${\underset {\mathrm {T} }{\supset }}$ ${\underset {\mathrm {T} }{\sim \;}}$ ${\underset {\mathrm {F} }{\mathrm {B} a}}$ ) ${\underset {\mathrm {T} }{\And }}$ ( ${\underset {\mathrm {T} }{\mathrm {C} b}}$ ${\underset {\mathrm {T} }{\supset }}$ ${\underset {\mathrm {T} }{\sim \;}}$ ${\underset {\mathrm {F} }{\mathrm {B} b}}$ ) ]

چنانکه مشاهده شد، تعبیری یافتیم که با فرض صدق مقدمات، نتیجه کاذب بود، لذا این استدلال نامعتبر است؛ زیرا استدلالی معتبر محسوب می‌شود که نتیجه‌ی آن در هر تعبیری صادق باشد.

منابع

1. اکبری، رضا (۱۳۹۳). درآمدی نو به منطق نمادین: منطق محمول ها (ویراست دوم). تهران: دانشگاه امام صادق. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۷۷۴۶-۱۱-۳.
2. موحد، ضیاء (۱۳۹۶). درآمدی به منطق جدید (ویراست یازدهم). تهران: انتشارات علمی و فرهنگی. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۴۴۵-۲۴۳-۷.
3. اکبری، رضا (۱۳۹۳). درآمدی نو به منطق نمادین: منطق جمله ها (ویراست سوم). تهران: دانشگاه امام صادق.