الگوریتم DPLL

الگوریتم DPLL

در یک فرمول CNF-SAT این مراحل را انجام دهید: ۱-یک لیترال را انتخاب کنید، ۲- یک مقدار درستی به آن منتسب کنید، ۳-فرمول را ساده کنید، ۴-صدق‌پذیری را بررسی کنید، ۵-اگر صادق نیست، پسگرد انجام دهید.
رده	مسئله صدق‌پذیری دودویی
ساختمان داده	درخت دودویی
کارایی بدترین حالت	$O(2^{n})$
کارایی بهترین حالت	$O(1)$ (ثابت)
پیچیدگی فضایی	$O(n)$ (الگوریتم اصلی)

الگوریتم DPLL (کوته‌نوشت Davis–Putnam–Logemann–Loveland) در منطق و علوم رایانه، یک الگوریتم جستجوی کامل و مبتنی بر پس‌گرد برای تصمیم‌گیری درمورد صدق‌پذیری برای فرمول‌های منطق گزاره‌ای در حالت نرمال عطفی است، به عبارت دیگر الگوریتم DPLL دارد مسئله CNF-SAT را حل می‌کند.

این الگوریتم در سال ۱۹۶۱ توسط مارتین دیویس، جرج لاگِمن، و دونالد لاولند معرفی گردید، که یک روش اصلاحی برای الگوریتم پیشین دیویس-پاتنام بود. بخصوص در نشریات قدیمی، به الگوریتم دیویس-پاتانم-لاولند، «روش دیویس-پاتنام» یا «الگوریتم DP» گفته می‌شد. نام‌های معمول‌تر دیگری که این تفاوت را حفظ نموده‌اند، DLL و DPLL می‌باشند.

بعد از حدود ۵۰ سال، هنوز هم فرایند DPLL مبنایی برای موثرترین حل‌کننده‌های کامل SAT می‌باشد. این الگوریتم، امروزه، این الگوریتم، در زمینه اثبات قضیه خودکار برای قطعه‌هایی از منطق مرتبه اول، به روش الگوریتم DPLL(T) گسترش داده شده‌است.

پیاده‌سازی و کاربردها

مسئله SAT هم از دیدگاه نظری و هم عملی مهم می‌باشد. در نظریه پیچیدگی، این الگوریتم، اولین مسئله‌ای بود که ثابت شد که ان‌پی کامل است. مسئله SAT در موارد متنوع و گسترده‌ای مثل «وارسی مدل»، «زمان‌بندی و برنامه‌ریزی خودکار» و «تشخیص در هوش مصنوعی» کاربرد دارد.

از این رو، این الگوریتم سال‌ها مورد پژوهش‌های فراوان بوده‌است، و به صورت منظم صحنه رقابت‌های زیادی بین حل‌کننده‌های SAT بوده‌است. در سال‌های اخیر، پیاده‌سازی‌های نوین DPLL مثل چاف و زدچاف، GRASP یا MiniSat در مقام اول این رقابت‌ها بوده‌اند.

یک کاربرد دیگر که DPLL را درگیر نموده‌است، اثبات قضیه خودکار، یا رضایت به پیمانه نظریات (SMT) است. SMT یک نظریه SAT است که در آن متغیرهای گزاره‌ای توسط فرمول‌های دیگر نظریهٔ ریاضیاتی جایگزین شده‌اند.

الگوریتم

الگوریتم پس‌گرد اصلی توسط انتخاب یک لیترال، انتساب یک مقدار درستی به آن، ساده‌سازی فرمول، و سپس بررسی بازگشتی این موضوع رخ می‌دهد که آیا فرمول ساده‌سازی شده صدق‌پذیر هست یا نه؛ اگر صدق‌پذیر بود، یعنی فرمول اصلی صدق‌پذیر است، در غیر این صورت، با فرض مقدار درستی معکوس، بررسی بازگشتی مشابهی باید انجام شود. به این موضوع «قاعده جداسازی» گفته می‌شود، زیرا مسئله را به دو زیرمسئله ساده‌تر جداسازی می‌کند. گام ساده‌سازی به صورت اساسی این است که همه بندهایی که تحت انتساب از فرمول، «درست» می‌شوند، و همه لیترال‌هایی که از بندهای باقیمانده «نادرست» می‌شوند، را حذف می‌کند.

با استفاده حریصانه این قواعد در هر گام، الگوریتم DPLL روی الگوریتم پسگرد، افزایش می‌یابد:

انتشار واحد

اگر بند یک «بند واحد» باشد، یعنی فقط شامل یک «لیترال انتساب نیافته و منفرد» باشد، این بند فقط با انتساب مقدار لازم برای درست ساختن این لیترال، صدق‌پذیر می‌شود. از این رو هیچ انتخابی لازم نیست. انتشار واحد شامل حذف هر بندی است که شامل لیترال بند واحد است و نیز شامل حذف مکمل لیترال بند واحد از هر بندی است که شامل آن مکمل است. در عمل این کار معمولاً منجر به فروریختن قطعی واحدها می‌شود، از این رو از قسمت بزرگی از فضای جستجوی اولیه جلوگیری می‌شود.

حذف لیترال خالص

یک لیترال موقعی «خالص» است که در فرمول فقط یک جهت قطبیت داشته باشد. یک لیترال خالص را همیشه می‌توان به صورتی انتساب داد که همه بندهای شامل کننده اش را درست کند. از این رو اگر به این شیوه انتساب داده شود، این بندها دیگر جستجو را محدودسازی نمی‌کنند، و قابل حذف می‌شوند.

یک انتساب جزئی داده شده موقعی صدق‌ناپذیری اش تشخیص داده می‌شود که یکی از بندها «خالی» شود، یعنی همه متغیرهایش به شیوه ای منتسب شوند که لیترال‌های متناظر را نادرست کنند. صدق‌پذیری فرمول در دو حالت تشخیص داده می شود: یا موقعی که همه متغیرها را انتساب دهیم اما بند خالی تولید نشود، یا در پیاده‌سازی‌های نوین، اگر همه بندها صادق شوند. صدق‌ناپذیری کامل فرمول تنها پس از «جستجوی جامع» تشخیص داده می‌شود.

الگوریتم DPLL را می‌توان در شبه کد زیر خلاصه کرد، که در آن Φ همان فرمول CNF است:

Algorithm DPLL
 Input: A set of clauses Φ.
 Output: A Truth Value.

function DPLL(Φ)
 if Φ is a consistent set of literals then
 return true;
 if Φ contains an empty clause then
 return false;
 for every unit clause {l} in Φ do
 Φ ← unit-propagate(l, Φ);
 for every literal l that occurs pure in Φ do
 Φ ← pure-literal-assign(l, Φ);
 l ← choose-literal(Φ);
 return DPLL(Φ ∧ {l}) or DPLL(Φ ∧ {not(l)});

• "←" denotes assignment. For instance, "largest ← item" means that the value of largest changes to the value of item.
• "return" terminates the algorithm and outputs the following value.

در این شبه‌کدunit-propagate(l, Φ) و pure-literal-assign(l, Φ) توابعی هستند که نتیجه اعمال «انتشار واحد» و «قاعده لیترال خالص» را برای لیترال l و فرمول Φ به ترتیب برمی‌گردانند. به زبان دیگر، این توابع در فرمول Φ هر رخداد l را به «درست» و هر رخداد not l را با «نادرست» جایگزین می‌کنند، و سپس فرمول نتیجه‌شده را ساده‌سازی می‌کنند. or موجود در عبارت return یک عملگر اتصال کوتاه است. Φ ∧ {l} نشان دهنده نتیجه ساده‌سازی‌شده جایگزینی «درست» برای l در Φ است.

این الگوریتم در یکی از این دو حالت خاتمه می‌یابد: یا اینکه فرمول CNF ای با نام Φ پیدا می‌شود که شامل مجموعه سازگاری از لیترال‌ها باشد، یعنی هیچ l و ¬l ای برای لیترال l در فرمول موجود نباشد. اگر این موضوع رخ دهد، متغیرها را به صورت بدیهی با تنظیم آن‌ها به قطبیت متناظر لیترال شامل‌شونده در ارزیابی صادق می‌کنیم. در غیر این صورت، موقعی که فرمول شامل یک بند خالی باشد، این بند به صورت پوچ «نادرست» است، زیرا یک فصل حتماً نیاز دارد تا حداقل یک عضوش درست باشد تا مجموعه کلی درست شود. در این حالت، وجود چنین بندی به معنی آن است که فرمول (که به صورت عطف همه بندها ارزیابی می‌شود) را نمی‌توان «درست» ارزیابی کرد، و فرمول باید صدق‌ناپذیر باشد.

شبه‌کد تابع DPLL فقط این موضوع را برمی‌گرداند که آیا انتساب نهایی برای فرمول، صدق‌پذیر هست یا نه. در یک پیاده‌سازی واقعی، یک انتساب نیمه‌صادق نیز معمولاً موفقیت را برمی‌گرداند؛ این موضوع از مجموعه سازگار لیترال‌های بیانیه if اول در تابع، قابل دستیابی است.

الگوریتم دیویس-لاگمن-لاولند به گزینه «لیترال انتشعابی» بستگی دارد، که همان لیترالی است که در گام پسگرد درنظرگرفته شده‌است. و این موضوع، یعنی الگوریتم DPLL یک الگوریتم دقیق نیست، بلکه «خانواده‌ای از الگوریتم‌ها» است، که هر عضو آن خانواده یک روش ممکن برای انتخاب لیترال انشعاب دارد. «کارایی» الگوریتم به شدت از نحوه انتخاب گزینه لیترال انشعاب تأثیر می‌پذیرد: نمونه‌هایی وجود دارد که در آن زمان اجرایی ثابت است، و همچنین در نمونه‌هایی زمان‌اجرا نمایی است، این موضوع بستگی به نحوه انتخاب لیترال‌های انشعابی دارد. به این توابع انتخابی، «توابع اکتشاف»، یا «اکتشاف برای انشعاب» هم گفته می‌شود.

نحوه تصور

در سال ۱۹۶۱ دیویس، لاگمن، لاومن این الگوریتم را ایجاد کردند. بعضی از ویژگی‌های این الگوریتم از این قرار است:

• بر اساس جستجو می‌باشد.
• مبنای تقریباً همه حل‌کننده‌های SAT نوین است.
• از پسگردهایی که یادگیرنده اند یا غیرزمانی اند استفاده نمی‌کند.

یک مثال با تصور مرتبط با آن از یک الگوریتم DPLL که پسگرد زمانی دارد:

• 
  همه بندهای سازنده یک فرمول CNF اینجا آمده‌است.
• 
  یک متغیر را انتخاب کنید.
• 
  یک تصمیم‌گیری انجام دهید، یعنی a = False (0)، از این رو بندهای سبز «درست» می‌شوند.
• 
  بعد از انجام چندین انتخاب، ما به یک گراف پیامد می‌رسیم که منجر به تعارض شده‌است.
• 
  اکنون به مرحله میانی واگردانی می‌کنیم، و مقدار مخالف را به آن متغیر انتساب اجباری می‌کنیم.
• 
  اما انتخاب اجباری منجر به تعارض دیگری شده‌است.
• 
  بازگشت به مرحله قبلی و انتخاب اجباری دیگری انجام می‌شود.
• 
  یک انتخاب دیگر انجام شده‌است، اما آن هم منجر به تعارض شده.
• 
  یک انتخاب اجباری دیگر، اما بازهم منجر به تعارض شده‌است.
• 
  بازگشت به مرحله قبلی
• 
  به همین روش ادامه داده‌ایم و این گراف پیامد نهایی است.

کارهای جدید روی الگوریتم

در سال‌های دهه ۲۰۱۰، کار روی بهبود الگوریتم در سه جهت انجام شد:

1. تعریف سیاست‌های متنوع برای انتخاب لیترال انتشعاب.
2. تعریف ساختمان داده‌های جدید برای سریع‌سازی الگوریتم، که مخصوصاً مرتبط با بخش انتشار واحد بود.
3. تعریف انواع الگوریتم پسگرد اصلی. که این جهت آخر شامل «پسگردهای غیرزمانی» (که به آن پس‌پرش گفته می‌شود) و یادگیری بند است. این اصلاحات توصیف‌کننده یک روش پسگرد بعد از رسیدن به یک بند متعارض است، که یعنی بند ریشه‌ای (انتساب به متغیرها) موجود در تعارض را با هدف جلوگیری از رسیدن به تعارض‌های مشابه در آینده «یادمی‌گیرد». حل‌کننده‌های SAT نتیجه‌شده، که حالت یادگیری بند مبتنی بر تعارض دارند، موضوع پژوهش‌های جدید و زیادی در سال ۲۰۱۴ بوده‌اند.

یک الگوریتم جدیدتر از سال ۱۹۹۰، روش استالمارک است. از این رو از سال ۱۹۸۶، از نمودارهای تصمیم دودویی (با مرتبه پایین) برای حل SAT استفاده شده‌است.

ارتباط با دیگر مفاهیم

اجرای الگوریتم‌های مبتنی بر DPLL روی نمونه‌های صدق‌ناپذیر با «اثبات‌های انکار وجود رزلوشن درختی» متناظر است.

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «DPLL algorithm». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۴ مهٔ ۲۰۲۱.