اشتراک (نظریه مجموعه‌ها)

اشتراک

اشتراک دو مجموعه $A$ و $B$ که توسط دایره نشان داده شده اند، و $A\cap B$ قسمت قرمز رنگ است.
گونه	عمل مجموعه
گرایش	نظریه مجموعه‌ها
گزاره	اشتراک برابر مجموعه عناصری است که هم در مجموعه $A$ و هم در مجموعه $B$ موجوداند.
بیان نمادین	$A\cap B=\{x:x\in A{\text{ and }}x\in B\}$

مجموعهٔ شامل عضوهای مشترک دو مجموعه را اشتراک آنها می‌نامیم و آن را با نماد ∩ نشان می‌دهیم مثل : A∩B

تعریف

اگر S مجموعه‌ای ناتهی از مجموعه‌ها باشد و $X\in S$ عضو دلخواهی از S، اشتراک همه اعضای S که آن‌را با $\bigcap S$ یا $\bigcap _{A\in S}A$ نشان می‌دهیم به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

$\bigcap S:=\bigcap _{A\in S}A:=\{y\in X:\forall A\in S,y\in A\}$

مجموعه بالا طبق اصل تصریح وجود دارد و با استفاده از اصل موضوع گسترش می‌توان نشان داد که یکتاست.

اشتراک "صفر"تا مجموعه در حالت کلی تعریف نمی‌شود؛ اما در یک مسئله خاص اگر مجموعه مرجع U باشد، تعریف می‌شود $\bigcap \phi :=U$.

اشتراک دو مجموعه دلخواه A و B را با $A\cap B$ نشان داده و می‌خوانیم "A اشتراک B". اشتراک سه مجموعه A، B و C را با $A\cap B\cap C$،... و اشتراک n مجموعه $A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}$ را با $A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots \cap A_{n}$ نشان می‌دهیم. می‌توان نشان داد که

$A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots A_{n}=(A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots A_{n-1})\cap A_{n}$

خواص اشتراک

مهم‌ترین ویژگی اشتراک دسته‌ای از مجموعه‌ها این است که زیرمجموعه همه آن‌هاست. فی‌الواقع اشتراک آنها بزرگ‌ترین مجموعه‌ایست که این ویژگی را دارد.

اگر اجتماع دو مجموعه A و B را با $A\cup B$ نشان دهیم، به ازای هر سه مجموعه A، B و C داریم:

$A\cap A=A$

$A\cap B=B\cap A$

$A\cap \phi =\phi \cap A=\phi$

$(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$

$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$

$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$

$A\subseteq B$ اگر و تنها اگر $A\cap B=A$.

جستارهای وابسته

• اجتماع (مجموعه)

منابع

• Enderton, H. B. Elements of Set Theory, 2nd edition, ACADEMIC Press, Inc., 1977.

عملیات دوتایی
عددی	تابعی	مجموعه‌ای	ساختاری
مقدماتی + جمع – تفریق × ضرب ÷ تقسیم ^ توان حسابی div خارج قسمت اقلیدسی mod باقی‌مانده اقلیدسی ∧ بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک ∨ کوچک‌ترین مضرب مشترک ترکیباتی () ضریب دوجمله‌ای P جایگشت C ترکیب	∘ ترکیب ∗ کانولوشن	جبر مجموعه‌ها ∪ اجتماع \ متمم نسبی ∩ اشتراک Δ تفاضل متقارن ترتیب کلی min کمینه max بیشینه توری‌ها ∧ کرانه تحتانی ∨ کرانه فوقانی	مجموعه‌ها × ضرب دکارتی ⊔ اجتماع منفصل ^ توان مجموعه‌ای گروه‌ها ⊕ حاصل‌جمع مستقیم ∗ حاصل‌ضرب آزاد ≀ produit en couronne مدول‌ها ⊗ ضرب تانسوری Hom هومومورفیزم Tor پیچش Ext extensions	درخت‌ها ∨ enracinement واریته‌های متصل # جمع متصل فضاهای نقطه‌دار ∨ bouquet ∧ smash produit ∗ joint
	بُرداری
	(.) ضرب اسکالر ∧ ضرب برداری
	جبری
	[,] کروشه لی {,} کروشه پواسون ∧ ضرب خارجی
	هومولوژی
	∪ cup-produit • حاصل‌ضرب اشتراک	ترتیبی
		+ الحاق
منطق بولی
∧ عطف منطقی	∨ فصل منطقی	⊕ یای انحصاری	⇒ استلزام منطقی	⇔ اگر و فقط اگر