مربع کامل

در ریاضیات، مربع کامل (به انگلیسی: Square number) عددی حسابی است که به صورت مجذور (توان دوم) یک عدد طبیعی (در برخی منابع عدد صحیح ذکر می‌شود) باشد، یا به عبارتی بتوان آن را به صورت ضرب یک عدد طبیعی در خودش نوشت. به‌طور مثال عدد ۲۵ یک مربع کامل است چون می‌توان آن را به صورت ۵×۵ نوشت. مربع کامل غیر منفی است و روش دیگر تعریف آن این است که بگوییم ریشه دوم (مثبت) آن عددی صحیح باشد، مثلاً ${\sqrt {9}}=3$ می‌باشد، پس ۹ یک مربع کامل است. این اعداد خاصیت‌های جالبی دارند از جمله اینکه تعداد مقسوم علیه‌های (شمارنده‌های) این اعداد فرد است؛ بنابراین یکی از راه‌های تشخیص این اعداد همین نکته است. نکته دیگر اینکه حاصل جمع اعداد فرد متوالی مربع کامل است، یعنی:

۱=۱

۱+۳=۴

۱+۳+۵=۹

۱+۳+۵+۷=۱۶

۱+۳+۵+۷+۹=۲۵

اگر مربع عدد زوج یا مربع عدد فرد را بر ۴ تقسیم کنیم باقی مانده ۰ یا ۱ می‌شود.

مربع کامل بر ۰/۱/۴/۵/۶بخش پذیراست

مثال

۵۰ مربع کامل طبیعی نخست: (در برخی موارد ۰ هم مربع کامل محسوب می‌شود)

۱^۲ = ۱

۲^۲ = ۴

۳^۲ = ۹

۴^۲ = ۱۶

۵^۲ = ۲۵

۶^۲ = ۳۶

۷^۲ = ۴۹

۸^۲ = ۶۴

۹^۲ = ۸۱

۱۰^۲ = ۱۰۰

۱۱^۲ = ۱۲۱

۱۲^۲ = ۱۴۴

۱۳^۲ = ۱۶۹

۱۴^۲ = ۱۹۶

۱۵^۲ = ۲۲۵

۱۶^۲ = ۲۵۶

۱۷^۲ = ۲۸۹

۱۸^۲ = ۳۲۴

۱۹^۲ = ۳۶۱

۲۰^۲ = ۴۰۰

۲۱^۲ = ۴۴۱

۲۲^۲ = ۴۸۴

۲۳^۲ = ۵۲۹

۲۴^۲ = ۵۷۶

۲۵^۲ = ۶۲۵

۲۶^۲ = ۶۷۶

۲۷^۲ = ۷۲۹

۲۸^۲ = ۷۸۴

۲۹^۲ = ۸۴۱

۳۰^۲ = ۹۰۰

۳۱^۲ = ۹۶۱

۳۲^۲ = ۱۰۲۴

۳۳^۲ = ۱۰۸۹

۳۴^۲ = ۱۱۵۶

۳۵^۲ = ۱۲۲۵

۳۶^۲ = ۱۲۹۶

۳۷^۲ = ۱۳۶۹

۳۸^۲ = ۱۴۴۴

۳۹^۲ = ۱۵۲۱

۴۰^۲ = ۱۶۰۰

۴۱^۲ = ۱۶۸۱

۴۲^۲ = ۱۷۶۴

۴۳^۲ = ۱۸۴۹

۴۴^۲ = ۱۹۳۶

۴۵^۲ = ۲۰۲۵

۴۶^۲ = ۲۱۱۶

۴۷^۲ = ۲۲۰۹

۴۸^۲ = ۲۳۰۴

۴۹^۲ = ۲۴۰۱

۵۰^۲ = ۲۵۰۰

۷×۷=۴۹عدی که در خودش ضرب شود مربع کامل بر ۰/۱/۴/۵/۶بخش پذیر است

خواص

m = ۱×۱ = ۱
m = ۲×۲ = ۴
m = ۳×۳ = ۹
m = ۴×۴ = ۱۶
m = ۵×۵ = ۲۵

شناسایی با استفاده از تجزیه

برای این کار ابتدا عدد را تجزیه کرده و اگر شرایط زیر حاکم بود ان عدد مربع کامل است.

1. پایه‌ها اعداد اول باشند.
2. توان هر عدد اول زوج باشد. (صفر نیز نباشد)