بسط مجانبی

در ریاضیات، بسط مجانبی یا گسترش ناهَمساویک (Asymptotic expansion)، دنباله‌های ناهمساویک یا گسترش پوانکاره سری‌های صوری از توابعی هستند که بعد از تعداد محدودی قطع می‌شوند. بررسی‌های ژرفتر نشان می‌دهد که بخش واگرای یک بسط مجانبی معنی دار است، یعنی اطلاعاتی دربارهٔ مقدار دقیق تابع گسترش دارد.

نمونه‌هایی از بسط‌های مجانبی

• تابع گاما

${\frac {e^{x}}{x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x+1)\sim 1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\rightarrow \infty )$

• انتگرال نمایی

$xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n}}}\ (x\rightarrow \infty )$

• تابع زتای ریمان

$\zeta (s)\sim \sum _{n=1}^{N-1}n^{-s}+{\frac {N^{1-s}}{s-1}}+N^{-s}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {B_{2m}s^{\overline {2m-1}}}{(2m)!N^{2m-1}}}$

که $B_{2m}$ عدد برنولی است و $s^{\overline {2m-1}}$ یک rising factorial است. این گسترش برای همه همتافت‌های s معتبر است و اغلب برای محاسبه تابع زتا با استفاده از مقادیر بزرگ از N برای نمونه $N>|s|$ استفاده می‌شود.

• تابع خطا

${\sqrt {\pi }}xe^{x^{2}}{\rm {erfc}}(x)=1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!(2x)^{2n}}}.$

منابع

• Bleistein, N. and Handelsman, R. , Asymptotic Expansions of Integrals, Dover, New York, 1975.
• Copson, E. T., Asymptotic Expansions, Cambridge University Press, 1965.
• A. Erdélyi, Asymptotic Expansions, Dover, New York, 1955.
• Hardy, G. H., Divergent Series, Oxford University Press, 1949.
• Paris, R. B. and Kaminsky, D. , Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals, Cambridge University Press, 2001.
• Whittaker, E. T. and Watson, G. N. , A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963.

پیوند به بیرون

• "Asymptotic expansion", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Wolfram Mathworld: Asymptotic Series