پهن‌شدگی دوپلری

طرح‌وارهٔ بالا، گسترش خط طیفی را نشان می‌دهد.
(𝜈۰) در نتیجهٔ اثر دوپلر به شکل تابع گاوسی در می‌آید.

پهن‌شدگی دوپلری (به انگلیسی: Doppler broadening) در فیزیک اتمی به معنای پهن‌شدن خطوط طیفی به دلیل اثر دوپلر و توزیع سرعت اتم‌ها یا مولکول‌هاست. سرعت‌های متفاوت ذرات منجر به شیفت‌های دوپلری متفاوت می‌شود و مجموع این شیفت‌هابه پهن شدگی دوپلری منجر می‌گردند.

یک نمونهٔ خاص پهن‌شدگی دوپلری گرمایی به‌دلیل حرکت گرمایی ذرات است. در نتیجه، این پهن‌شدگی فقط وابسته به فرکانس، جرم ذرات گسیل‌کننده و دما می‌باشد، پس می‌تواند برای اندازه‌گیری دمای یک‌جسم گسیل‌کننده استفاده شود.

توصیف ریاضی

وقتی حرکت گرمایی موجب حرکت ذره به سمت مشاهده گر شود، تابش گسیلی به فرکانس بیشتری شیفت پیدا می‌کند و به همین ترتیب اگر ذره دور شود فرکانس کمتر خواهد شد. برای سرعت‌های غیر نسبیتی شیفت داپلری در فرکانس به صورت زیر خواهد بود:

$f=f_{0}\left(1+{\frac {v}{c}}\right),$

جاییکه $f$ فرکانس مشاهده شده توسط ناظر،$f_{0}$ فرکانس گسیلی از ذره،$v$ سرعت ذره نسبت به ناظر و $c$ سرعت نور است. چون یک توزیع سرعت برای ذرات موجود در یک محفظهٔ گازی با حجم V وجود دارد، پس شیفت فرکانسی به ازای هر سرعت، منجر به یک پهن شدگی در طیف گسیلی می‌شود. اگر$P_{v}(v)\,dv$ کسری از ذرات با مولفه سرعت $v$ تا $v+dv$ باشند توزیع فرکانس متناظر با ان برابر است با:

$P_{f}(f)\,df=P_{v}(v_{f}){\frac {dv}{df}}\,df,$

که $v_{f}=c\left({\frac {f}{f_{0}}}-1\right)$ سرعت ذره نسبت به ناظر، متناظر با شیفت داپلری $f_{0}$ به $f$است؛ بنابراین:

$P_{f}(f)\,df={\frac {c}{f_{0}}}P_{v}\left(c\left({\frac {f}{f_{0}}}-1\right)\right)\,df.$

در پهن شدگی دوپلری گرمایی، توزیع سرعت یک توزیع ماکسول خواهد بود:

$P_{v}(v)\,dv={\sqrt {\frac {m}{2\pi kT}}}\,\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right)\,dv,$

که در ان $m$ جرم ذره ، $T$ دما و $k$ ثابت بولتسمان است در نتیجه:

$P_{f}(f)\,df={\frac {c}{f_{0}}}{\sqrt {\frac {m}{2\pi kT}}}\,\exp \left(-{\frac {m\left[c\left({\frac {f}{f_{0}}}-1\right)\right]^{2}}{2kT}}\right)\,df.$

این رابطه را می‌توان به صورت زیر ساده‌نویسی کرد:

$P_{f}(f)\,df={\sqrt {\frac {mc^{2}}{2\pi kTf_{0}^{2}}}}\,\exp \left(-{\frac {mc^{2}\left(f-f_{0}\right)^{2}}{2kTf_{0}^{2}}}\right)\,df,$

این رابطه بیانگر یک تابع گاوسی می‌باشد که ازان می‌توان یه پهنای خط طیفی دست یافت:

$\Delta f_{\text{FWHM}}={\sqrt {\frac {8kT\ln 2}{mc^{2}}}}f_{0}.$

منابع

Demtroder, Wolfgang (2013). "3". Laser Spectroscopy (به انگلیسی). Vol. 1 (5 ed.). مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Doppler broadening». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۴ ژوئیه ۲۰۲۰.